Pho.rs: Угловая высота камня

Решение

1 ^?? Чему равно время $t_1$?

Поскольку вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен перпендикулярно лучу зрения – он образует угол $\alpha_0$ с вертикалью.

Траектория камня представляет собой участок параболы ветвями вниз,поэтому максимальное значение $\alpha_1=38^{\circ}$ реализуется, если Леопольд расположен вне искомой параболы, и в момент времени $t_1$, когда угол между лучом зрения и горизонтом достигает максимального значения, луч зрения направлен по касательной к траектории камня. Это означает, что в данный момент скорость камня $\vec{v}_1$ направлена прямо на Леопольда и образует угол $\alpha_1$ с горизонтом.

Для определения времени $t_1$ построим векторный треугольник скоростей для данного момента времени.
Из теоремы синусов находим:
$$\cfrac{gt_1}{\sin(\pi/2+\alpha_1-\alpha_0)}=\cfrac{v_0}{\sin(\pi/2-\alpha_1)}
$$откуда:

Ответ: $$t_1=\cfrac{v_0\sin(\pi/2+\alpha_1-\alpha_0)}{g\sin(\pi/2-\alpha_1)}\approx 1{.}24~\text{с}
$$

2 ^?? На каком расстоянии $L$ от скалы находился Леопольд?

Введём систему координат $xy$ с началом в месте расположения глаз Леопольда так, как показано на рисунке. Тогда зависимости координат $x(t)$, $y(t)$ следующие:
$$x(t)=L-v_0\sin\alpha_0t\qquad y(t)=L\operatorname{tg}\alpha_0+v_0\cos\alpha_0t-\cfrac{gt^2}{2}
$$Тогда для тангенса угла $\alpha_1$ в момент времени $t_1$ получим:
$$\operatorname{tg}\alpha_1=\cfrac{y(t_1)}{x(t_1)}=\cfrac{L\operatorname{tg}\alpha_0+v_0\cos\alpha_0t_1-gt^2_1/2}{L-v_0\sin\alpha_0t_1}
$$откуда:

Ответ: $$L=\cfrac{v_0t_1(\cos\alpha_0+\operatorname{tg}\alpha_1\sin\alpha_0)-gt^2_1/2}{\operatorname{tg}\alpha_1-\operatorname{tg}\alpha_0}\approx 24{.}3~\text{м}
$$