Работа $dA$, совершаемая газом при изменении его объема на $dV$
$$dA = pdV, \tag{1}$$где $p$ — его давление.
Изменение внутренней энергии $dU$ одного моля идеального одноатомного газа связано с изменением его температуры $dT$ соотношением
$$dU=\frac{3}{2}RdT. \tag{2}$$По условию задачи должно выполняться соотношение
$$\eta=\frac{dA}{dU}=\operatorname{const}, \tag{3}$$которое, наряду с уравнением идеального газа
$$pV=RT, \tag{4}$$приводит к следующему уравнению
$$\frac{2}{3\eta}\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}. \tag{5}$$Уравнение $(5)$ легко интегрируется и приводится к виду
$$\frac{T}{T}=\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\frac{2}{3\eta}}. \tag{6}$$В начальном состоянии уравнение идеального газа дает
$$p_0V_0=RT_0, \tag{7}$$а в конечном состоянии
$$\frac{p_0}{2}4V_0=RT, \tag{8}$$откуда получаем температуру газа в конечном состоянии
$$T=2T_0. \tag{9}$$Из уравнений $(6)$ и $(9)$ легко находится коэффициент
$$\eta=\frac{4}{3}. \tag{10}$$Полная работа газа в процессе определяется интегралом уравнения $(1)$ и равна
$$A=\int\limits_{V_0}^{4V_0}pdV=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. \tag{11}$$
Примечание: Описанный в данной задаче процесс является политропным, то есть происходит при постоянной теплоемкости. Действительно, так как совершаемая газом работа составляет фиксированную часть изменения внутренней энергии, то это и означает, что теплоемкость газа остается постоянной за все время процесса. При этом уравнение политропы $pV^n=\operatorname{const}$ справедливо при выбранных условиях задачи для $n =1/ 2$, а работа газа, очевидно, не зависит от его типа, будь то одноатомный или многоатомный газ.