Pho.rs: Бистабильная система

0 ^?? Запишите нечетный номер, указанный в нижней части направляющих конструкции.

Ответ: В нижней части направляющих конструкции найдем два числа (четное и нечетное), в бланк ответов запишем нечетное, которое служит для однозначной идентификации установки, на которой проводились измерения.

1 ^?? Снимите с наибольшей точностью зависимость силы $F$ от расстояния $y$ во всем диапазоне возможных значений $y$. Для каждого измерения $F$ и $y$ укажите соответствующую величину $x$.

Ответ: Для измерения требуемой силы $F$ существует два способа. Можно использовать динамометр во всем диапазоне изменения $y$. Однако этот способ имеет недостатки. Из-за габаритов конструкции сложно обеспечить вертикальность приложенной силы; точность измерений зависит в том числе и от цены деления динамометра. Поэтому будем использовать бутылку, привязанную на нити. В бутылку с помощью шприца будем наливать известный объем воды и таким образом регулировать силу с большей точностью.

Величину $2y$ будем измерять линейкой, а соответствующую величину 2х можно либо измерять непосредственно, а можно вычислять по теореме Пифагора, предварительно измерив сторону ромба $a = 190~\text{мм}$. Следует обратить внимание, что пружина имеет начальное сжатие, и ее длина начинает увеличиваться только после превышения силой $F$ определенного значения.

Заметим, что каждому значению силы $F$ соответствует два положение равновесия – верхнее устойчивое и нижнее неустойчивое. Поэтому целесообразно для каждой массы бутылки с водой сразу измерять оба значения $y$ – верхнее и нижнее.

При измерениях ниже неустойчивого положения равновесия, которое реализуется при $F=0$ и при $y < 50~\text{мм}$, направление силы $F$ изменяется. Для удержания системы в положении равновесия силу $F$ необходимо прикладывать вверх и измерять ее динамометром.

Снимем зависимость $F(y, x)$. Ниже приведена таблица измерений.

$F,~\text{Н}$	$2y_{\text{в}},~\text{мм}$	$y_{\text{в}},~\text{мм}$	$x_{\text{в}},~\text{мм}$	$2y_{\text{н}},~\text{мм}$	$y_{\text{н}},~\text{мм}$	$x_{\text{н}},~\text{мм}$
0	354	177	69	100	50	183
0,2	354	177	69	106	53	182
0,5	354	177	69	122	61	180
0,7	354	177	69	136	68	177
1,0	354	177	69	150	75	174
1,2	354	177	69	160	80	172
1,5	352	176	72	174	87	168
1,7	350	175	74	186	98	162
2,0	350	175	74	202	101	160
2,2	348	174	76	216	108	156
2,5	342	171	83	236	118	149
2,7	336	168	88	250	125	143
2,9	330	165	94	270	135	134
3,0	320	160	102	280	140	128
-0,2				90	45	185
-0,4				80	40	186

2 ^?? Постройте график полученной зависимости $F(y)$.

Ответ: На рисунке представлен график зависимости, построенной по результатам проведенных измерений.

Ответ:

3 ^?? Получите теоретическую зависимость между $F$ и $x$, $y$, $l_{0}$, $m$, $k$. Запишите эту зависимость в виде $F = ...$, где выражение справа от знака равенства содержит $x$, $y$, $l_{0}$, $m$, $k$. При выводе теоретической зависимости трением пренебречь.

Ответ:

Ответ: Существует два равноценных метода вычисления силы $F$: через статическое равновесие и через метод виртуальных перемещений. Воспользуемся последним.

Если вертикальная диагональ ромба уменьшится на величину $2\Delta y$, то центр масс системы опустится на величину $\Delta y$, а горизонтальная диагональ ромба (дополнительное растяжение пружины) увеличится на $2\Delta x$.

При незначительном отклонении системы от положения равновесия суммарная работа всех внешних сил равна нулю:

$ F\cdot 2\Delta y+mg\cdot\Delta y-k\left(2x-l_{0}\right)\cdot 2\Delta x=0$

Пусть сторона ромба равна $ x^{2}+y^{2}=a^{2}\quad(2)$, тогда $ (x+\Delta x)^{2}+\left(y-\Delta y\right)^{2}=a^{2}\quad(3)$.

Раскрывая скобки, вычитая $(2)$ из $(3)$ и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости получим, что $ \cfrac{\Delta x}{\Delta y}=\cfrac{y}{x}\quad(4)$.

С учетом $(4)$ выражение $(1)$ приобретает вид $ F=\cfrac{k\left(2x-l_{0}\right)y}{x}-\cfrac{mg}{2}$ и представляет собой теоретическую зависимость силы $F$, обеспечивающую равновесное состояние системы, от величин $y$ и $x$.

4 ^?? Используя полученную зависимость $F$($x$, $y$, $l_{0}$, $m$, $k$), а также точки экспериментального графика $F(y)$, определите величину $l_0$.

Ответ: Для вычисления $l_0$ используем две пары значений $(y_в, x_в)$ и $(y_н, x_н)$, которые получены для верхнего и нижнего равновесия при одной и той же силе $F$. Сила $F$ должна быть достаточной для того, чтобы пружина начала удлиняться.

Согласно $(5)$ $ F=\cfrac{k\left(2x_\text{в}-l_{0}\right)y_\text{в}}{x_\text{в}}-\cfrac{m_{0}g}{2}=\cfrac{k\left(2x_\text{н}-l_{0}\right)y_\text{н}}{x_\text{н}}-\cfrac{mg}{2}$, откуда $ l_{0}=\cfrac{2(y_\text{в}-y_\text{н})}{\cfrac{y_\text{в}}{x_\text{в}}-\cfrac{y_\text{н}}{x_\text{н}}}$.

Для расчета используем значения $y_\text{в}= 174~\text{мм}$, $y_\text{н}= 108~\text{мм}$, $x_\text{в}= 76~\text{мм}$, $x_\text{н}= 156~\text{мм}$, соответствующие $F= 2{,}2~\text{Н}$, и получим $l_0 = 83~\text{мм}$. Такое же значение получается, если для расчетов взять другую пару $y$ и $x$.

5 ^?? Обозначьте $W = y\left(2-\frac{l_0}{x}\right)$. Проверьте, является ли функция $F=F(W)$ линейной.

Преобразуем выражение $(5)$, получим $ F=k\cdot W-\cfrac{mg}{2}$. Функция $F(W)$ является линейной.

6 ^?? Постройте график зависимости $F\left(W\right)$. С помощью этого графика определите коэффициент жесткости пружины $k$ и массу конструкции $m$.

Ответ: Дополним таблицу измерений столбцом значений $W$, рассчитанных для нижнего положения равновесия, так как только в этом случае пружина остается растянутой во всем диапазоне измерений.

Ответ:

$F, \text{Н}$	$y_\text{н},~\text{мм}$	$x_\text{н},~\text{мм}$	$W,~\text{мм}$
0	50	183	77
0,2	53	182	82
0,5	61	180	94
0,7	68	177	104
1,0	75	174	114
1,2	80	172	121
1,5	87	168	133
1,7	98	162	146
2,0	101	160	151
2,2	108	156	159
2,5	118	149	170
2,7	125	143
2,9	135	134
3,0	140	128
-0,2	45	185
-0,4	40	186

Ответ: Построим график зависимости $F(W)$.

Ответ:

Ответ: По угловому коэффициенту прямой находим $k= 26~\text{H}/\text{м}$, а по пересечению с осью ординат $m = 390~\text{г}$.

Бистабильная система

Решение