Pho.rs: Оптика движущихся сред

Условие

1. Четырехмерные векторы

2. Эффект Доплера и аберрация света

3. Свет в движущейся среде

Часть 1. Четырехмерные векторы

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета $S$ и $S^{\prime}$, из которых вторая движется относительно первой со скоростью $V$ как показано на рисунке. Будем считать, что начала $O$ и $O^{\prime}$ совпадают в начальный момент времени $t=t^{\prime}=0$ по часам обеих систем отсчета $S$ и $S^{\prime}$. Известно, что преобразования Лоренца пространственно-временных координат любого события $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, ct^{\prime})$ в системе $S^{\prime}$ в пространственно-временные координаты $(x, y, z, ct)$ этого же события в системе $S$ имеют вид $$x=\frac{x^{\prime}+(V/c)ct^{\prime}}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \quad y=y^{\prime}, \quad z=z^{\prime}, \quad ct=\frac{ct^{\prime}+(V/c)x^{\prime}}{\sqrt{1-V^2/c^2}},$$ где $c=2.9979 \cdot 10^8~м/с$ — скорость света. В формулах преобразований Лоренца пространственные координаты и время специально приведены к одинаковой размерности, так как они вместе образуют так называемый 4-вектор. Известно, что компоненты всех 4-векторов преобразуются одинаковым образом при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. В частности, 4 вектор образуют компоненты импульса и энергия. Пусть в системе отсчета $S$ движется объект, который имеет полную энергию $E$ и проекции импульса на оси координат $OX$, $OY$ и $OZ$ равные соответственно $p_x$, $p_y$, $p_z$.

1.1 Запишите преобразования энергии и импульса объекта из системы $S$ в систему $S^{\prime}$.

Пусть некоторый объект движется в системе отсчет $S$, имея полную энергию $E$, импульс $p$ и массу покоя $m$. При преобразовании его энергии и импульса из одной системы отсчета в другую величина $E^2-p^2c^2=inv$ остается инвариантной.

1.2 Выразите инвариант $inv$ через $m$ и $c$.

Часть 2. Эффект Доплера и аберрация света

Пусть в системе отсчета $S$ в плоскости $XY$ распространяется электромагнитная волна (ЭМВ) с частотой $\omega$ так, что ее направление составляет угол $\varphi$ с осью $OX$.

2.1 Найдите частоту $\omega^{\prime}$ ЭМВ, которую зафиксирует наблюдатель в системе отсчета $S^{\prime}$.

2.2 Найдите угол $\varphi^{\prime}$, который составляет направление распространения ЭМВ в системе отсчета $S^{\prime}$ с осью $O^{\prime}X^{\prime}$.

Астрономические наблюдения показали, что положение вновь открытой массивной звезды $X$ на небесной сфере (то есть по отношению к очень удаленным объектам) не остается постоянным в течение года. Оно описывает эллипс с отношением полуосей $0.900$. Эклиптической широтой звезды называется угол между направлением на звезду и плоскостью эклиптики, которую можно считать совпадающей с плоскостью орбиты движения Земли вокруг Солнца.

2.3 Найдите эклиптическую широту $\delta$ звезды $X$ в градусах.

Наблюдение за спектром излучения звезды $X$ показали, что частоты длин волн сдвинуты в красную область. Относительное изменение частоты регистрируемого излучения составляет $\Delta \omega/\omega)_0=9.9945 \cdot 10^{−3}$. Из независимого эксперимента установили, что скорость удаления звезды $X$ от Солнца равна $v_x=\frac{1}{100}c$.

2.4 Найдите и рассчитайте вторую космическую скорость $v_{II}$ на поверхности звезды $X$.

Часть 3. Свет в движущейся среде

Рассмотрим те же две системы отсчета, что и в Части 1. Пусть в системе отсчета $S^{\prime}$ в плоскости $X^{\prime}Y^{\prime}$ движется объект, скорость которого имеет проекции $u_x^{\prime}$ на ось $O^{\prime}X^{\prime}$ и $u_y^{\prime}$ на ось $O^{\prime}Y^{\prime}$ соответственно.

3.1 Найдите проекции скорости объекта $u_x$ на ось $OX$ и $u_y$ на ось $OY$ в системе отсчета $S$.

Рассмотрим поток воды, движущийся относительно дна сосуда со скоростью $V$. На поверхность воды падает плоская электромагнитная волна, которая составляет угол $\alpha$ с нормалью в лабораторной системе отсчета. На дне сосуда установлен остронаправленный детектор. Считайте коэффициент преломления воды известным и равным $n$. При скорости воды $V \ll c$ выражение для синуса угла $\beta$, под которым детектор фиксирует излучение, имеет вид $$\sin\beta=A_1+B_1V.$$

3.2 Найдите $A_1$, $B_1$ и выразите их через $\alpha$ и $n$.

При скорости воды $V \ll c$, выражение для скорости излучения $v_m$ в лабораторной системе отсчета имеет вид $$v_m=A_2+B_2V.$$

3.3 Найдите $A_2$, $B_2$ и выразите их через $\beta$, $n$, $c$.

В 1860 году Физо провел следующий опыт. Монохроматический луч с длиной волны $\lambda$ от источника $A$ падает на полупрозрачную пластинку $B$ и разделяется на два когерентных луча. Луч, отразившийся от пластинки, проходит путь $BKDEB$ ($R$, $B$ и $D$ — зеркала), а прошедший через пластинку $B$ — путь $BEDKB$, то есть противоположно предыдущему. Первый луч, возвратившись к пластинке $B$, частично отражается от нее и попадает в интерферометр $F$. Второй луч, возвратившись к пластинке $B$, частично проходит через нее и также попадает в интерферометр $F$. Оба луча проходят один и тот же путь, причем на участках $BE$ и $KD$ эти пути проходят через жидкость, которая течет по трубе со скоростью $v$. Полный путь, проходимый каждым из лучей в воде в лабораторной системе отсчета имеет длину $2L$.

3.4 Найдите число полос $\Delta N$, на которое сместится интерференционная картина при изменении скорости жидкости от 0 до $v$, и выразите его через $L$, $n$, $v$, $c$, и $\lambda$.

В реальном опыте было получено значение $\Delta N=0.230$ при $L=1.49~м$, $v=7.06~м/с$ и $\lambda=536~нм$.

3.5 Определите по этим данным показатель преломления воды $n$.

Математическая подсказка
Вам может понадобится знание следующего приближенного равенства:
$$(1+x)^{\alpha}\approx 1+ax, \text{ при } x \ll 1.$$