В этой задаче мы рассмотрим три основных термоэлектрических эффекта: закон Джоуля-Ленца, эффекты Зеебека и Пельтье.

Закон Джоуля-Ленца.
При направленном движении носителей заряда они передают часть энергии в колебательное движение кристаллической решетки, поэтому кристалл нагревается. Этот процесс — необратимый.

Эффект Зеебека
наблюдается в термопаре, состоящей из двух разных проводников $A$ и $B$, спаянных друг с другом (рис. 1а) либо соединенных через промежуточный материал $C$ (рис. 1b). Когда спаи термопары поддерживаются при разных температурах $T_1$ и $T_2$ (рис. 1), в системе возникает ЭДС\[\epsilon=\alpha(T_1-T_2),\]где $\alpha$ — коэффициент Зеебека термопары и считается, что он не зависит от температуры.

Эффект Пельтье.
Если через термопару пропустить ток, то, в зависимости от направления, куда он течет, на спае может выделяться или поглощаться тепло. Соединение проводников термопары может быть как прямым (рис. 2а), так и через промежуточный материал (рис. 2b). Выделяемая (или поглощаемая) на спаях мощность $q$ записывается следующим образом:\[q=\pi I,\]где $\pi$ — коэффициент Пельтье. Эффекты Зеебека и Пельтье — обратимые. Цепь, показанная на рисунке 2b, может использоваться как холодильник, причем тепло отбирается у одного из спаев и выделяется на другом. Излучением, конвекцией и теплопроводностью можно пренебречь. Вся теплопередача происходит внутри тепловых резервуаров и термопары.

Для численных расчетов в Таблицах 1 и 2 приведены значения тепловых и электрических характеристик материалов.

Термопара AB

Теплопроводность и термоэлектрический генератор

Часть A. Теплопроводность в однородном проводнике (1.75 баллов)

Вдоль однородного проводника течет ток силой $I$ (рис. 3). Удельное сопротивление материала $\rho$, коэффициент теплопроводности $k$. Координаты концов проводника: $x=0$ и $x=L$. Температуры концов проводника поддерживаются постоянными и равными $T_1$ при $x=0$ и $T_2$ при $x=L$ ($T_1>T_2$).

Тепловой поток $q(x)$, т.е. количество теплоты, проходящее по нормали к площадке $S$ в единицу времени, описывается законом Фурье (одномерный случай):$$q(x)=-kS\frac{\mathrm dT(x)}{\mathrm dx},$$где $k$ — коэффициент теплопроводности, а $S$ — площадь поперечного сечения.

A1 Найдите распределение температуры $T(x)$ вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду.

Примечание. Уравнение вида ${\mathrm d^2T(x)}/{\mathrm dx^2}=a$ имеет решение вида:\[T(x)=\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\]где $C_1$ и $C_2$ — постоянные, определяемые из граничных условий.

A2 Найдите тепловой поток $q(x)$ в произвольной точке $x$, а также рассчитайте его на концах: $q(0)$ и $q(L)$.

Часть B. Связь коэффициентов Зеебека и Пельтье (1.5 балла)

Рассмотрим термопару (рис. 1b), у которой коэффициент Зеебека равен $\alpha$. Ее коэффициенты Пельтье равны $\pi_1$ и $\pi_2$ на горячем ($T_1$) и холодном ($T_2$) спаях термопары соответственно. Выделением джоулева тепла можно пренебречь. Считайте, что электронный газ в проводниках термопары совершает идеальный цикл.

B1 Какую тепловую мощность $q_1$ получает газ от нагревателя температурой $T_1$?

B2 Какую тепловую мощность $q_2$ газ отдает холодильнику температурой $T_2$?

B3 Какая полная электрическая полезная мощность $P$ производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен $\alpha$?

B4 Выразите коэффициент Пельтье $\pi$ на спае термопары через коэффициент Зеебека $\alpha$ и температуру спая $T$.

Часть C. Термоэлектрический генератор (1.5 балла)

Внимание!
Здесь и далее коэффициент Пельтье $\pi$ примите равным $\alpha T$. Также везде нужно будет учитывать выделяющееся джоулево тепло.

Термопара состоит из двух проводников $A$ и $B$ одинаковой длины $L$ (рис. 4). Параметры проводников, соответственно, равны: площади поперечного сечения $S_A$ и $S_B$, удельные сопротивления $\rho_A$ и $\rho_B$, коэффициенты теплопроводности $k_A$ и $k_B$. Нижние концы стержней подключены к нагрузке $R_L$. Параметры термопары таковы:

• $\alpha$ — коэффициент Зеебека,
  
• $R={\rho_AL}/{S_A}+{\rho_BL}/{S_B}$ — ее внутреннее сопротивление,
  
• $K={k_AS_A}/{L}+{k_BS_B}/{L}$ — ее коэффициент теплопроводности.
  

Верхний спай термопары поддерживается при температуре $T_1$, нижний — при $T_2$, причем $T_1>T_2$. Обозначим $q_1$ полную тепловую мощность, забираемую у нагревателя ($T_1$), а $q_2$ — полную тепловую мощность, получаемую холодильником ($T_2$).

C1 Выразите $q_1$ и $q_2$ через параметры термопары $\alpha, K, R$, температуры $T_1, T_2$ и силу тока $I$.

КПД термоэлектрического генератора определяется как $\eta={P_L}/{q_1}$, где $P_L$ — мощность, выделяющаяся на нагрузке. Отношение сопротивлений нагрузки и термопары обозначается $m={R_L}/{R}$.

C2 Выразите КПД $\eta$ генератора через параметры термопары $\alpha$, $K$, $R$, температуры $T_1$, $T_2$ и отношение сопротивлений $m$.

При производстве термоэлектрических генераторов необходимо удовлетворить следующим условиям:

1. минимизировать сопротивление, чтобы уменьшить выделение джоулева тепла;
   
2. обеспечить низкую теплопроводность, чтобы уменьшить теплопередачу между спаями, и
   
3. сохранять большую разность температур.
   

Совместно это характеризуется показателем качества термопары $Z={\alpha^2}/{KR}$.

C3 Выразите КПД $\eta$ генератора через $Z$, КПД идеального цикла Карно $\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}$, температуру $T_1$ и $m$.

Часть D. Максимальный КПД генератора (1.25 балла)

D1 Обозначим $\eta_P$ КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность $P_L=P_{\mathrm{max}}$. Выразите $\eta_P$ через $Z$, $T_1$, $T_2$.

D2 КПД генератора достигает максимума $\eta=\eta_{\mathrm{max}}$ при некотором значении отношения сопротивлений $m=M$. Выразите это $M$ через $Z$, $T_1$, $T_2$.

D3 Выразите максимальный КПД $\eta_{\mathrm{max}}$ через $Z$, $M$, $T_1$, $T_2$.

Часть E. Максимальный показатель качества термопары (0.75 балла)

Увеличение показателя качества термопары приводит к увеличению КПД генератора. При производстве термопар площади поперечного сечения $S_A$ и $S_B$ проводников подбираются так, что показатель качества получается максимальным $Z=Z_m$.

E1 Найдите отношение площадей поперечного сечения $S_A/S_B$ проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через $\rho_A$, $\rho_B$, $k_A$, $k_B$.

E2 Выразите максимальный показатель качества термопары $Z_m$ через $\alpha$, $\rho_A$, $\rho_B$, $k_A$, $k_B$.

Часть F. Оптимальный КПД генератора (0.75 балла)

Если показатель качества термопары и электрическая мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальны одновременно, то такой режим работы генератора называется оптимальным. Обозначим $\eta_{opt}$ КПД такого генератора.

Пусть нагреватель имеет температуру $T_1=423~К$, а холодильник — $T_2=303~К$.

F1 Вычислите значение $\eta_{opt}$ термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1.

Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины $\eta_c$.

F2 Вычислите значение максимального КПД $\eta_{\mathrm{max}}$ термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов.

Термоэлектрический холодильник

Часть G (0.75 балла)

Термопара с параметрами $\alpha$, $K$, $R$, определенными в части C. Термоэлектрический генератор
, используется как холодильник (рис. 5).

Верхний спай термопары соприкасается с теплым резервуаром начальной температуры $T_1$. Резервуар теплоизолирован от окружающей среды, и его хотят охлаждать. Нижние концы проводников всегда поддерживаются при температуре $T_2$ и подключены к источнику тока. Направление тока, текущего через спай термопары, такое, что у верхнего, теплого, резервуара теплота поглощается, а выделяется внизу.

G1 $q_C$ — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите $q_C$ через параметры термопары $\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$.

G2 Найдите максимальную разность температур $\Delta T_{\max}=T_2-T_{1\min}$, которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары $Z$ и наинизшую температуру $T_{1\min}$ верхнего резервуара, до которой его можно охладить.

Часть H (0.75 балла)

Термопара изготовлена из материалов $A$ и $B$ с наилучшим показателем качества $Z_m$ (найденным в части А). Эта термопара используется в качестве холодильника.

H1 Найдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры $T_{1\min}$ верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~К$.

H2 Найдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока $I_w$ холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры $T_{1\min}$. Нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~ К$. Считайте, что площади поперечного сечения равны $S_A=S_B=10^{-4}~м^2$.

Часть I. Холодильный коэффициент (1 балл)

Когда разность температур меньше своего возможного максимального значения $\Delta{T_{\max}}$, вводится холодильный коэффициент. Он определяется как $\beta={q_C}/{P}$, где $P$ — подводимая электрическая мощность.

I1 Выразите холодильный коэффициент $\beta$ через параметры термопары $\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$.

I2 Когда холодильный коэффициент достигает максимального значения $\beta_{\mathrm{max}}$, сила тока, текущего через термопару, равна $I_{\beta}$. Выразите $I_{\beta}$ через параметры термопары $\alpha$, $k$, $R$ и $T_1$, $T_2$.

I3 Найдите максимальное значение холодильного коэффициента $\beta_{\mathrm{max}}$.