Электрон – элементарная частица, у которой есть электрический заряд и внутренний магнитный момент, связанный с ее спином (моментом импульса). Из-за кулоновского взаимодействия электроны в вакууме отталкиваются. Однако, в некоторых металлах суммарная сила, действующая на электроны, может стать силой притяжения из-за колебаний решетки. Когда температура металла достаточно низкая (ниже некоторой критической температуры $T_c$), электроны с противоположными импульсами и противоположными спинами могу образовывать куперовские пары. Образуя куперовскую пару, каждый из электронов уменьшает свою энергию на величину $\Delta$ по сравнению с электроном, свободно движущемся в металле. Энергия свободно движущегося электрона равна $p^2/2m_e$, где $p$ – импульс электрона, а $m_e$ – его масса. Куперовские пары могут перемещаться без сопротивления, и металл при этом становится сверхпроводником. Однако, даже при температурах ниже $T_c$ сверхпроводимость можно разрушить, если к сверхпроводнику приложить внешнее магнитное поле. В этой задаче мы исследуем разрушение куперовских пар посредством двух эффектов. Первый эффект – парамагнитный. В нем электроны вместо создания куперовской пары с противоположными спинами, уменьшают свою энергию, выстраивая свой магнитный момент параллельно магнитному полю. Второй эффект – диамагнитный. В нем магнитное поле изменяет орбитальное движение куперовских пар и увеличивает их энергию. Когда приложенное магнитное поле превысит некоторое критическое значение $B_c$, увеличение энергии становится больше чем $2 \Delta$. В результате, электронам становится невыгодно образовывать куперовские пары. Недавно был открыт новый тип сверхпроводников – сверхпроводники Изинга. Они не утрачивают свойство сверхпроводимости даже когда к ним приложено поле в 60 Тесла. А это сравнимо с максимальной силой полей, которые создаются сегодня в лабораториях. Мы исследуем, как сверхпроводники Изинга могут преодолеть парамагнитный и диамагнитный эффекты.
В этой части задачи мы исследуем парамагнитный эффект приложенного внешнего магнитного поля на куперовские пары (рис. 3).
В этой части задачи можно пренебречь действием магнитного поля на спины электронов. Мы рассмотрим действие внешнего магнитного поля на орбитальное движение куперовских пар. Когда температура равна нулю, а сверхпроводник находится в магнитном поле $\vec{B} = (0,0,B_z)$, то разность энергий между сверхпроводящим состоянием и нормальным состоянием может быть записана \begin{equation*} F = \int_{-\infty}^{\infty} \psi \left( - \alpha \psi - \frac{\hbar^2}{4 m_e} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{e^2 B_z^2 x^2}{m_e} \psi \right) dx \end{equation*} Здесь $\psi(x)$ — функция, зависящая от $x$ и не зависящая от $y$. $\psi(x)^2$ задает вероятность найти куперовскую пару вблизи положения $x$. Здесь $\alpha$ – постоянная, и она связана с уменьшением энергии при образовании куперовской пары. Второй и третий члены в $F$ связаны с кинетической энергией куперовской пары, учитывая действие магнитного поля. Когда температура равна нулю, система минимизирует свою энергию $F$. В этом случае функция $\psi(x)$ может быть записана в виде \begin{equation*} \psi(x) = \left( \frac{2\lambda}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\lambda x^2}, \end{equation*}где $\lambda > 0$.
В веществах со спин-орбитальным взаимодействием (спин-спиновым взаимодействием можно пренебречь) на электрон, обладающий импульсом $\vec{p}$, действует внутреннее магнитное поле $B_{1\perp} = (0,0,-B_z)$. С другой стороны, на электрон, обладающий импульсом $-\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\perp} = (0, 0, B_z)$. Эти внутренние магнитные поля действуют только на спины электронов (рис. 4). Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками Изинга.
