Из соображений размерности потенциал в центре равномерно заряженного по объёму шара относительно бесконечно удаленной точки равен $$\varphi \sim k\frac{q}{R}\sim \alpha\frac{\rho R^3}{R}\sim \alpha\rho R, \tag{1}$$ где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех шаров. Нашу систему зарядов можно представить как результат суперпозиции шара радиусом $R$, заряженного с плотностью $+\rho$, и шара радиусом $r$, заряженного с плотностью $-2\rho$. Тогда для потенциала в центре имеем $$\alpha\rho R^2+\alpha(-2\rho)r^2=0, \tag{2}$$ откуда $$\frac{R}{r}=\sqrt{2}. \tag{3}$$