1
5.00
Какое количество теплоты выделится в резисторе $R$ после замыкания ключа?
Первое решение
Рассмотрим левую часть схемы. Её нагрузочная характеристика (зависимость $U(I)$) — прямая, соответствующая эквивалентному источнику с параметрами $\varepsilon_0=\frac{\varepsilon}{2}$, $r_0=\frac{r}{2}$.
Для эквивалентной схемы
выделившееся тепло равно $Q_0=\frac{C\varepsilon^2}{2}$. В резисторе $R$ выделилось
$$Q=\frac{R}{R+r_0}Q_0=\frac{R}{R+\frac{r}{2}}\cdot \frac{C\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^2}{2}=\frac{RC\varepsilon^2}{4(2R+r)}.$$
Второе решение
Система уравнений Кирхгофа имеет вид
$$\begin{equation*}
\begin{cases}
\varepsilon=I_1r+I_2r \\
I_2r=IR+\frac{q}{C} \\
I_1=I+I_2 \\
I=\dot q
\end{cases}
\end{equation*}$$Исключив $I_1$ и $I_2$, получим уравнение
$$I\left(R+\frac{r}{2}\right)+\frac{q}{C}=\frac{\varepsilon}{2},$$из которого домножением на $I$ получим
$$I^2\left(R+\frac{r}{2}\right)=\frac{\varepsilon}{2}I-\frac{qI}{C}=\frac{\varepsilon}{2}\dot q-\frac{2q\dot q}{2C}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\varepsilon q}{2}-\frac{q^2}{2C}\right)$$отсюда
$$I^2R=\frac{R}{R+\frac{r}{2}}\frac{d}{dt}\left(\frac{\varepsilon q}{2}-\frac{q^2}{2C}\right)$$и
$$\int\limits_0^{\infty}I^2 Rdt=\frac{R}{R+\frac{r}{2}}\left(\frac{\varepsilon q}{2}-\frac{q^2}{2C}\right) \Biggr |_{q(0)}^{q(\infty)}.$$Подставив $q(0)=0$ и $q(\infty)=C\frac{\varepsilon}{2}$, получим
$$Q=\frac{RC\varepsilon^2}{4(R+2r)}.$$
Ответ:
$$Q=\frac{RC\varepsilon^2}{4(R+2r)}.$$
