Воздушный шарик имеет форму однородного цилиндра (за исключением концов). Все процессы будем считать изотермическими и происходящими при комнатной температуре. Давление $P$ в воздушном шарике превышает атмосферное давление $P_0$ на очень малую величину, так что воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Силой тяжести и весом воздушного шарика можно пренебречь. Процесс изменения объема воздушного шарика считайте медленным и квазистатическим. В пунктах A1-A4 предполагается, что воздушный шарик надут всюду однородно по его длине. Обозначим как $r_0$ и $L_0$ начальные радиус и длину воздушного шарика до его надувания.

A1 Воздушный шарик удерживается за один из его концов, по которому поступает воздух, в то время как остальная часть шарика висит свободно. Вычислите отношение $\sigma_L$/$\sigma_t$ между продольным «поверхностным» натяжением $\sigma_L$ (в направлении, параллельном оси воздушного шарика) и поперечным «поверхностным» натяжением $\sigma_t$ (в направлении, касательном к поперечному сечению воздушного шарика).
«Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними.

A S

При малых растяжениях шарика справедлив линейный закон Гука. Будем считать, что длина воздушного шара остается постоянной и равной $L_0$, в то время как «поверхностное» натяжение $\sigma_t$ линейно зависит от изменения отношения $\frac{r}{r_0}$:\begin{equation}
\sigma_t = k \left( \frac{r}{r_0} -1 \right) \tag{1}
\end{equation}

A2 Используя формулу $(1)$, получите выражение для зависимости давления $P$ в воздушном шарике от его объема $V$. Изобразите (качественно) зависимость $P - P_0$ как функцию объема $V$. Исходя из закона Гука, найдите максимальное давление внутри воздушного шарика $P_{\max}$.

A S

В действительности отношение $r/r_0$ достаточно велико (см. рисунок 1), так что нужно учитывать нелинейное поведение резины и связанное с ним изменением длины воздушного шарика. Учет этих нелинейных свойств материала резины позволяет существенно уточнить формулу для давления внутри шарика, которое оказывается выше, чем результат, полученный в пункте A2. В реальном воздушном шарике график зависимости $\sigma_t (r)$ радиуса шарика состоит из трех частей:

• Для малых изменений $r$, $\sigma_t(r)$ растет по закону Гука.
• При $r-r_0 \sim r_0$ длина воздушного шара $L$ начинает увеличиваться, и $\sigma_t(r)$ приближается к насыщению, то есть растет очень медленно.
•  При больших значениях $r$ резина начинает сильно сопротивляться дальнейшему растяжению, что приводит к резкому росту $\sigma_t(r)$.

Описанная выше зависимость показана на рисунке 2.

A3 Изобразите качественно график зависимости разности давлений $P-P_0$ как функцию объема $V$ однородно надутого воздушного шара, материал резины которого ведет себя согласно рисунку 2. Укажите точки экстремумов на графике, на том же графике укажите точки, соответствующие значениям $r = 1$ см и $r = 2.5$ см. Вычислите разность давлений $P-P_0$ для этих двух значений радиуса с $10\text{%}$-ой точностью.

A S

Нелинейное поведение материала резины, исследованное в пункте A3, приводит к тому, что зависимость разности давлений $P-P_0$ внутри воздушного шарика от его объема $V$ аппроксимируется следующей кубической зависимостью:
\begin{equation}
P - P_0 = a \left( \left(V-u\right)^3 - b\left(V-u\right) + c \right), \tag{2}
\end{equation}где $a$, $b$, $c$ и $u$ – положительные константы. Пусть объем $u$ больше, чем объем не надутого воздушного шара $V_0$, а $c$ принимает такие значения, при которых функция $(2)$ положительна для всех $V > V_0$. См. рис. 3.

Воздушный шарик соединен с большим воздушным резервуаром, в котором может поддерживаться контролируемое насосом давление $P$. Может случиться так, что некоторым значениям давления $P$ соответствуют несколько равновесных значений $V$. Если воздушный шарик, находящийся в равновесии, испытывает случайные возмущения (такие как локальное растяжение внешними силами), то он может перейти в другое равновесное состояние с отличным объемом. Такой переход возможен, только если он будет энергически выгодным для всей системы, состоящей из воздушного шарика, атмосферы и насоса, поддерживающего давление $P$. Пусть давление медленно увеличивается от значения $P_0$, и на каждом шаге существуют достаточные возмущения. Тогда резкое увеличение объема шарика может произойти только по достижении критического давления $P_c$, при котором полная энергия, необходимая для перехода между двумя равновесными состояниями равна нулю. Выше этого критического давления, переход от меньшего объема к большему, сопровождается выделением энергии и наоборот. Такие резкие переходы часто встречаются в природе, и иногда называются фазовыми переходами.

A4 Используя зависимость $(2)$, получите выражения для $P_c$, объема $V_1$ воздушного шарика перед скачком и объема $V_2$ после скачка. Выразите ответы через $a$, $b$, $c$ и $u$.

A S

В реальности мальчик на дне рождения неспособен подавать достаточно воздуха для мгновенного изменения объема воздушного шарика, описанного выше. Вместо этого воздух накачивается в воздушный шарик постепенно, эффективно контролируя увеличение объема воздушного шара, а не давление в нем. В этом случае становится возможным новый тип поведения шарика. Если сложится ситуация благоприятная для минимизации полной энергии системы, то воздушный шарик разделиться на две цилиндрические области с различными радиусами, длины которых будут постепенно изменяться. Энергией границы раздела можно пренебречь. Мы также пренебрежем длиной пограничного слоя (эти предположения действительны для очень длинного воздушного шара).

A5 Изобразите качественный график зависимости разности давлений $P-P_0$ от объема $V$, учитывая разделение объема шарика на две части. Укажите на осях давление $P_c-P_0$ и объемы $V_1$ и $V_2$.

A S

A6 Пусть шарик находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите длину $L_{\text{thin}}$ более тонкой области как функция полного объема воздушного шара $V$. Выразите свой ответ через $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

A S

A7 Пусть шарик опять находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите удельную работу $\Delta W / \Delta L_{\text{thin}}$, которую необходимо совершить, чтобы преобразовать единицу длины тонкой области в толстую область. Выразите свой ответ через $P_c$, $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

A S