Воздушный шарик имеет форму однородного цилиндра (за исключением концов). Все процессы будем считать изотермическими и происходящими при комнатной температуре. Давление $P$ в воздушном шарике превышает атмосферное давление $P_0$ на очень малую величину, так что воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Силой тяжести и весом воздушного шарика можно пренебречь. Процесс изменения объема воздушного шарика считайте медленным и квазистатическим. В пунктах A1-A4 предполагается, что воздушный шарик надут всюду однородно по его длине. Обозначим как $r_0$ и $L_0$ начальные радиус и длину воздушного шарика до его надувания.

A1  ^1.80 Воздушный шарик удерживается за один из его концов, по которому поступает воздух, в то время как остальная часть шарика висит свободно. Вычислите отношение $\sigma_L$/$\sigma_t$ между продольным «поверхностным» натяжением $\sigma_L$ (в направлении, параллельном оси воздушного шарика) и поперечным «поверхностным» натяжением $\sigma_t$ (в направлении, касательном к поперечному сечению воздушного шарика).
«Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними.

При малых растяжениях шарика справедлив линейный закон Гука. Будем считать, что длина воздушного шара остается постоянной и равной $L_0$, в то время как «поверхностное» натяжение $\sigma_t$ линейно зависит от изменения отношения $\frac{r}{r_0}$:\begin{equation}
\sigma_t = k \left( \frac{r}{r_0} -1 \right) \tag{1}
\end{equation}

A2  ^1.00 Используя формулу $(1)$, получите выражение для зависимости давления $P$ в воздушном шарике от его объема $V$. Изобразите (качественно) зависимость $P - P_0$ как функцию объема $V$. Исходя из закона Гука, найдите максимальное давление внутри воздушного шарика $P_{\max}$.

В действительности отношение $r/r_0$ достаточно велико (см. рисунок 1), так что нужно учитывать нелинейное поведение резины и связанное с ним изменением длины воздушного шарика. Учет этих нелинейных свойств материала резины позволяет существенно уточнить формулу для давления внутри шарика, которое оказывается выше, чем результат, полученный в пункте A2. В реальном воздушном шарике график зависимости $\sigma_t (r)$ радиуса шарика состоит из трех частей:

• Для малых изменений $r$, $\sigma_t(r)$ растет по закону Гука.
• При $r-r_0 \sim r_0$ длина воздушного шара $L$ начинает увеличиваться, и $\sigma_t(r)$ приближается к насыщению, то есть растет очень медленно.
•  При больших значениях $r$ резина начинает сильно сопротивляться дальнейшему растяжению, что приводит к резкому росту $\sigma_t(r)$.

Описанная выше зависимость показана на рисунке 2.

A3  ^1.30 Изобразите качественно график зависимости разности давлений $P-P_0$ как функцию объема $V$ однородно надутого воздушного шара, материал резины которого ведет себя согласно рисунку 2. Укажите точки экстремумов на графике, на том же графике укажите точки, соответствующие значениям $r = 1$ см и $r = 2.5$ см. Вычислите разность давлений $P-P_0$ для этих двух значений радиуса с $10\text{%}$-ой точностью.

Нелинейное поведение материала резины, исследованное в пункте A3, приводит к тому, что зависимость разности давлений $P-P_0$ внутри воздушного шарика от его объема $V$ аппроксимируется следующей кубической зависимостью:
\begin{equation}
P - P_0 = a \left( \left(V-u\right)^3 - b\left(V-u\right) + c \right), \tag{2}
\end{equation}где $a$, $b$, $c$ и $u$ – положительные константы. Пусть объем $u$ больше, чем объем не надутого воздушного шара $V_0$, а $c$ принимает такие значения, при которых функция $(2)$ положительна для всех $V > V_0$. См. рис. 3.

Воздушный шарик соединен с большим воздушным резервуаром, в котором может поддерживаться контролируемое насосом давление $P$. Может случиться так, что некоторым значениям давления $P$ соответствуют несколько равновесных значений $V$. Если воздушный шарик, находящийся в равновесии, испытывает случайные возмущения (такие как локальное растяжение внешними силами), то он может перейти в другое равновесное состояние с отличным объемом. Такой переход возможен, только если он будет энергически выгодным для всей системы, состоящей из воздушного шарика, атмосферы и насоса, поддерживающего давление $P$. Пусть давление медленно увеличивается от значения $P_0$, и на каждом шаге существуют достаточные возмущения. Тогда резкое увеличение объема шарика может произойти только по достижении критического давления $P_c$, при котором полная энергия, необходимая для перехода между двумя равновесными состояниями равна нулю. Выше этого критического давления, переход от меньшего объема к большему, сопровождается выделением энергии и наоборот. Такие резкие переходы часто встречаются в природе, и иногда называются фазовыми переходами.

A4  ^2.30 Используя зависимость $(2)$, получите выражения для $P_c$, объема $V_1$ воздушного шарика перед скачком и объема $V_2$ после скачка. Выразите ответы через $a$, $b$, $c$ и $u$.

В реальности мальчик на дне рождения неспособен подавать достаточно воздуха для мгновенного изменения объема воздушного шарика, описанного выше. Вместо этого воздух накачивается в воздушный шарик постепенно, эффективно контролируя увеличение объема воздушного шара, а не давление в нем. В этом случае становится возможным новый тип поведения шарика. Если сложится ситуация благоприятная для минимизации полной энергии системы, то воздушный шарик разделиться на две цилиндрические области с различными радиусами, длины которых будут постепенно изменяться. Энергией границы раздела можно пренебречь. Мы также пренебрежем длиной пограничного слоя (эти предположения действительны для очень длинного воздушного шара).

A5  ^1.00 Изобразите качественный график зависимости разности давлений $P-P_0$ от объема $V$, учитывая разделение объема шарика на две части. Укажите на осях давление $P_c-P_0$ и объемы $V_1$ и $V_2$.

A6  ^1.40 Пусть шарик находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите длину $L_{\text{thin}}$ более тонкой области как функция полного объема воздушного шара $V$. Выразите свой ответ через $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

A7  ^1.20 Пусть шарик опять находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите удельную работу $\Delta W / \Delta L_{\text{thin}}$, которую необходимо совершить, чтобы преобразовать единицу длины тонкой области в толстую область. Выразите свой ответ через $P_c$, $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.