A1  ^1.80 Воздушный шарик удерживается за один из его концов, по которому поступает воздух, в то время как остальная часть шарика висит свободно. Вычислите отношение $\sigma_L$/$\sigma_t$ между продольным «поверхностным» натяжением $\sigma_L$ (в направлении, параллельном оси воздушного шарика) и поперечным «поверхностным» натяжением $\sigma_t$ (в направлении, касательном к поперечному сечению воздушного шарика).
«Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними.

Решение через силы

Пусть радиус шарика равен $r$, а давление внутри него – $P$.

Рассмотрим сечение шарика, перпендикулярное его оси. На часть шарика, отсекаемую этим сечением, действует сила вдоль его оси, равная:\[2\pi r\sigma_L-\pi r^2(P-P_0)\implies \sigma_L=\frac{r}{2}(P-P_0).\]Рассмотрим теперь сечение шарика, рассекающее его пополам вдоль оси. На любую из половинок шарика действует сила, перпендикулярная его оси и равная:\[2x\sigma_t-2rx(P-P_0)\implies \sigma_t=\]

Решение через энергию

Если растянуть шарик в длину на величину $\mathrm dL$, его энергия увеличится на:\[\mathrm dE_L=2\pi r\sigma_L\,\mathrm dL.\]Если растянуть шарик, увеличив его радиус на $\mathrm dr$, его энергия увеличится на:\[\mathrm dE_t=L\sigma_t\cdot 2\pi\,\mathrm dr.\]Применим к шарику обе эти деформации так, чтобы его объём (а значит, внутренняя энергия и давление газа внутри) не изменятся. Это происходит при:\[\pi r^2\,\mathrm dL+L\,\mathrm{d}\left(\pi r^2\right)=0\implies r\,\mathrm dL=-2L\,\mathrm dr.\]Тогда в равновесном состоянии суммарная энергия должна экстремум, то есть:\[\mathrm dE_l+\mathrm dE_t=0\implies\\0=2\pi\sigma_Lr\,\mathrm dL-\pi\sigma_t\cdot\left(-2L\,\mathrm dr\right)=\left(2\pi\sigma_L-\pi\sigma_t\right)r\,\mathrm dL,\]откуда приходим к тому же ответу.

A2  ^1.00 Используя формулу $(1)$, получите выражение для зависимости давления $P$ в воздушном шарике от его объема $V$. Изобразите (качественно) зависимость $P - P_0$ как функцию объема $V$. Исходя из закона Гука, найдите максимальное давление внутри воздушного шарика $P_{\max}$.

Разность давлений находим, пользуясь промежуточными результатами предыдущего пункта:\[P=P_0+\frac{\sigma_t}{r}=P_0+\frac{k(r-r_0)}{r_0r}=P_0+k\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right).\]Поскольку объём связан с радиусом как:\[V=\pi r^2L_0,\]получим искомую зависимость:

Функция $P-P_0$ выходит из нуля при $V=\pi r_0^2L_0$ и монотонно асимптотически стремится к значению $k/r_0$ при $V\to+\infty$.

Максимальное давление внутри шарика достигается при $V\to+\infty$ и равно:

A3  ^1.30 Изобразите качественно график зависимости разности давлений $P-P_0$ как функцию объема $V$ однородно надутого воздушного шара, материал резины которого ведет себя согласно рисунку 2. Укажите точки экстремумов на графике, на том же графике укажите точки, соответствующие значениям $r = 1$ см и $r = 2.5$ см. Вычислите разность давлений $P-P_0$ для этих двух значений радиуса с $10\text{%}$-ой точностью.

Качественно график зависимости $P-P_0$ от $V$ ведёт себя так же, как график $P-P_0=\sigma_t/r$ от $r$, который легко построить. График растёт от нуля, потом спадает, а в конце начинает резко увеличиваться снова. Точки $r=1~см$ и $r=2.5~см$ лежат на убывающем участке недалеко от локальных максимума/минимума (но не совпадают с ними). Качественный график представлен на рисунке ниже:

Искомые давления можно найти как:

$(P-P_0)(r=1~см)=\dfrac{\sigma}{r}=\dfrac{30}{0.01}~Па=3000~Па,\\ (P-P_0)(r=2.5~см)=\dfrac{\sigma}{r}=\dfrac{30}{0.025}~Па=1200~Па.$

A4  ^2.30 Используя зависимость $(2)$, получите выражения для $P_c$, объема $V_1$ воздушного шарика перед скачком и объема $V_2$ после скачка. Выразите ответы через $a$, $b$, $c$ и $u$.

Шарик совершает над насосом работу:\[W_\mathrm{mech}=-P(V_\mathrm f-V_\mathrm i),\]а над атмосферой:\[W_\mathrm{surr}=P_0(V_\mathrm f-V_\mathrm i).\]Условие энергетического равновесия для перехода состояния шарика:\[W_\mathrm{rubber}+W_\mathrm{surr}+W_\mathrm{mech}=0.\]Отсюда мгновенно получаем правило Максвелла:\[\int\limits_{V_\mathrm i}^{V_\mathrm f}(P-P_0)\,\mathrm dV=(P-P_0)(V_\mathrm f-V_\mathrm i).\]Поскольку функция $P(V)$ симметрична относительно точки $(V,P-P_0)=(u,ac)$, правило Максвелла может быть выполнено при:

При этом на значения объёма $V_{1,2}$ получим кубическое уравнение:\[(V-u)^3-b(V-u)=0\implies\]

A5  ^1.00 Изобразите качественный график зависимости разности давлений $P-P_0$ от объема $V$, учитывая разделение объема шарика на две части. Укажите на осях давление $P_c-P_0$ и объемы $V_1$ и $V_2$.

В диапазоне объёмов $V\in[V_1,V_2]$ произойдёт разделение шарика на тонкую и толстую часть, которое происходит при постоянном давлении $P_\mathrm c$. На других участках графика зависимость $P-P_0$ от $V$ монотонно растёт, претерпевая разрыв производной в момент начала фазового перехода. Соответствующий рисунок:

A6  ^1.40 Пусть шарик находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите длину $L_{\text{thin}}$ более тонкой области как функция полного объема воздушного шара $V$. Выразите свой ответ через $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

При изменении полного объёма шарика от $V_1$ до $V_2$ объём тонкой части линейно уменьшается от $V_1$ до $0$, т.е.:\[V_\mathrm{thin}=\frac{V_1}{V_2-V_1}(V_2-V).\]Так как $L_\mathrm{thin}=V_\mathrm{thin}/\pi r_1^2$, получаем ответ:

A7  ^1.20 Пусть шарик опять находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите удельную работу $\Delta W / \Delta L_{\text{thin}}$, которую необходимо совершить, чтобы преобразовать единицу длины тонкой области в толстую область. Выразите свой ответ через $P_c$, $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

При преобразовании длины $\mathrm dL_\mathrm{thin}$ тонкой области в толстую, объём шарика увеличивается на величину:\[\mathrm dV=\frac{V_2-V_1}{V_1}\mathrm dV_\mathrm{thin}=\frac{\pi r_1^2(V_2-V_1)}{V_1}\mathrm dL_\mathrm{thin}.\]Для этого необходимо совершить работу:\[\mathrm dW=P_\mathrm c\,\mathrm dV=\frac{\pi r_1^2P_\mathrm c(V_2-V_1)}{V_1}\mathrm dL_\mathrm{thin}.\]Таким образом, искомая величина: