A1  ^1.80 Воздушный шарик удерживается за один из его концов, по которому поступает воздух, в то время как остальная часть шарика висит свободно. Вычислите отношение $\sigma_L$/$\sigma_t$ между продольным «поверхностным» натяжением $\sigma_L$ (в направлении, параллельном оси воздушного шарика) и поперечным «поверхностным» натяжением $\sigma_t$ (в направлении, касательном к поперечному сечению воздушного шарика).
«Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними.

1 Найдено $\sigma_t=r(P-P_0)$	0.80
2 Найдено $\sigma_L=\frac{1}{2}r(P-P_0)$	0.60
3 Ответ $\frac{\sigma_L}{\sigma_t}=\frac12$	0.40

A2  ^1.00 Используя формулу $(1)$, получите выражение для зависимости давления $P$ в воздушном шарике от его объема $V$. Изобразите (качественно) зависимость $P - P_0$ как функцию объема $V$. Исходя из закона Гука, найдите максимальное давление внутри воздушного шарика $P_{\max}$.

1 Соотношение $V=\pi r^2L_0$	0.10
2 Ответ $P(V)=P_0+k\left[\frac1{r_0}-\sqrt\frac{\pi L_0}{V}\right]$	0.20
График:
4 начинается при $V > 0$	0.20
5 начинается при $P-P_0=0$	0.20
6 выпуклый	0.20
7 монотонный	0.10

A3  ^1.30 Изобразите качественно график зависимости разности давлений $P-P_0$ как функцию объема $V$ однородно надутого воздушного шара, материал резины которого ведет себя согласно рисунку 2. Укажите точки экстремумов на графике, на том же графике укажите точки, соответствующие значениям $r = 1$ см и $r = 2.5$ см. Вычислите разность давлений $P-P_0$ для этих двух значений радиуса с $10\text{%}$-ой точностью.

График:
2 начинается при $V > 0$	0.10
3 начинается при $P-P_0=0$	0.10
4 возрастает в конце	0.10
5 убывает посередине	0.20
6 отмечен минимум	0.10
7 отмечен максимум	0.10
8 точка $r=1~\text{см}$ отмечена после максимума	0.20
9 точка $r=2.5~\text{см}$ отмечена после $r=1~\text{см}$ и перед минимумом	0.20
10 штраф за отрицательное $P-P_0$	-0.30
11 Ответ $P-P_0(r=1~\text{см})=3000~\text{Па}$	0.10
12 Ответ $P-P_0(r=2.5~\text{см})=1200~\text{Па}$	0.10

A4  ^2.30 Используя зависимость $(2)$, получите выражения для $P_c$, объема $V_1$ воздушного шарика перед скачком и объема $V_2$ после скачка. Выразите ответы через $a$, $b$, $c$ и $u$.

1 Записано интегральное равенство для совершённой работы	0.60
2 Штраф за «потерю» $P_0$	-0.30
3 Ответ $P_c=P_0+ac$	0.60
4 Записано уравнение $(V-u)^3-b(V-u)=0$	0.50
5 Ответ $V_1=u-\sqrt b$	0.30
6 Ответ $V_2=u+\sqrt b$	0.30

A5  ^1.00 Изобразите качественный график зависимости разности давлений $P-P_0$ от объема $V$, учитывая разделение объема шарика на две части. Укажите на осях давление $P_c-P_0$ и объемы $V_1$ и $V_2$.

График:
2 начинается при $V > 0$	0.10
3 начинается при $P-P_0=0$	0.10
4 возрастает в конце	0.10
5 горизонтален посередине	0.30
6 разрыв производной на концах горизонтального участка	0.10
7 горизонтальный участок соответствует $P_c-P_0$	0.10
8 начало горизонтального участка соответствует $V_1$	0.10
9 конец горизонтального участка соответствует $V_2$	0.10
10 штраф за отрицательное $P-P_0$	-0.30

A6  ^1.40 Пусть шарик находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите длину $L_{\text{thin}}$ более тонкой области как функция полного объема воздушного шара $V$. Выразите свой ответ через $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

1 Указана линейность зависимости	0.30
2 Уравнений не больше, чем неизвестных	0.20
3 Промежуточный ответ $V_\mathrm{thin}=\frac{V_1(V_2-V)}{V_2-V_1}$	0.50
4 Штраф за неверный ответ при верных выкладках (ставится вместе с предыдущим пунктом)	-0.40
5 Записано соотношение $V_\mathrm{thin}=\pi r_1^2L_\mathrm{thin}$	0.20
6 Ответ $\Delta L_\mathrm{thin}=\frac{V_1(V_2-V)}{\pi r_1^2(V_2-V_1)}$	0.20

A7  ^1.20 Пусть шарик опять находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите удельную работу $\Delta W / \Delta L_{\text{thin}}$, которую необходимо совершить, чтобы преобразовать единицу длины тонкой области в толстую область. Выразите свой ответ через $P_c$, $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области.

1 Записана работа $\Delta W=P_c\Delta V$	0.30
2 Нетождественная пропорциональность $\Delta V$ и $\Delta V_\mathrm{thin}$	0.20
3 Записано выражение $\Delta V=\frac{V_2-V_1}{V_1}\Delta V_\mathrm{thin}$	0.30
4 Записано соотношение $\Delta V_\mathrm{thin}=\pi r_1^2\Delta L_\mathrm{thin}$	0.20
5 Ответ $\frac{\Delta W}{\Delta L_\mathrm{thin}}=\frac{\pi r_1^2P_c(V_2-V_1)}{V_1}$	0.20