Pho.rs: Термодинамика простейшего квантового идеального газа

Условие

Модель

Задания:

В классической физике энергия системы изменяется непрерывно. В физике микромира большинство физических величин квантуется, то есть принимает дискретный ряд значений. Квантование энергии может приводить к реально наблюдаемым макроскопическим эффектам. В данной задаче вам предлагается рассмотреть простейшую модель квантового идеального газа.

Модель

Газ состоит из $N$ одинаковых атомов массы $m$, которые находятся в длинном цилиндрическом сосуде длиной $L$ и площадью поперечного сечения $S$. Атомы могут двигаться только вдоль оси сосуда. Кинетическая энергия атомов квантуется, то есть может принимать дискретный ряд значений, определяемый формулой
$$E_n=n\varepsilon, \tag{1}$$где $n=1, 2, 3 \dots$, а $\varepsilon$ — известная постоянная величина.
Считайте, что для кинетической энергии атома применима классическая формула.

Сосуд приведен в контакт с термостатом так, что температура газа в сосуде равна $T$. Изменение величины кинетической энергии атомов происходит в результате контакта с термостатом. Концентрация атомов невелика, так что столкновениями атомов между собой можно пренебречь.
В состоянии термодинамического равновесия число атомов $N_n$, имеющих энергию $E_n$, определяется функцией распределения Больцмана
$$N_n=C\exp\left(-n\frac{\varepsilon}{k_BT}\right), \tag{2}$$где $k_B$ — постоянная Больцмана, $C$ — нормировочный множитель, который вам необходимо определить самостоятельно.

Задания:

1. Определите число атомов $N_n$, имеющих энергию $E_n$. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$.

2. Найдите выражение для внутренней энергии $U$ газа. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для внутренней энергии газа в двух предельных случаях $k_B T \gg \varepsilon$ $(\textbf{высокая температура, классический предел})$ и $k_B T \ll \varepsilon$ $(\textbf{предел низких температур})$.

3. Вычислите молярную теплоемкость газа $C_V$ при постоянном объеме. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для теплоемкости в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости молярной теплоемкости рассматриваемого газа от температуры.

4. Найдите давление $P$, создаваемое газом на стенку сосуда. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для давления в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости давления газа от температуры.

При решении данных задач вы можете использовать формулы:

$$\sum^{\infty}_{n=1}x^n=\frac{x}{1-x},$$

$$\sum^{\infty}_{n=1}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},$$

$$\exp(x)\approx 1+x, \quad x \ll 1,$$

$$\frac{1}{1-x}\approx 1+x, \quad |x| \ll 1.$$