Сейчас мы примем участие в запуске спутника, что потребует, с точки зрения физики, только использования простой механики.

a  ^1.00 Спутник массы $m$ изначально вращается вокруг Земли массы $M$ по круговой орбите радиуса $R_0$. Чему равна скорость $u_0$ спутника, выраженная через $M$, $R_0$ и универсальную гравитационную постоянную $G$?

b  ^2.00 Мы решили запустить спутник по траектории, которая доставит его в точку $P$ на расстоянии $R_1$ от центра Земли (см. рис.), увеличив (почти мгновенно) скорость спутника в точке $Q$ с $u_0$ до $u_1$. Выразите значение $u_1$ через $u_0$, $R_0$ и $R_1$.

c  ^1.00 Выразите через $u_0$ минимальное значение $u_1$, которое позволит спутнику полностью преодолеть земное притяжение.

d  ^1.00 (Для ситуации из пункта b) Чему равна скорость $u_2$ спутника в точке $P$, выраженная через $u_0$, $R_0$ и $R_1$?

e  ^1.00 Теперь мы хотим изменить орбиту спутника в точке $P$ на круговую радиуса $R_1$, увеличив его скорость (почти мгновенно) с $u_2$ до $u_3$. Чему равно значение $u_3$, выраженное через $u_2$, $R_0$ и $R_1$?

f  ^3.00 Пусть спутник незначительно и мгновенно возмутили в радиальном направлении так, что он отклонится от идеальной круговой орбиты радиуса $R_1$. Выведите период колебаний спутника $T$ по радиусу возле основного радиуса $R_1$.

Подсказка: Участники могут использовать (если необходимо) уравнение движения спутника по орбите: $$m\left[\frac{d^2}{d t^2} r-\left(\frac{d}{d t} \theta\right)^2 r\right]=-G \frac{M m}{r^2},$$

и закон сохранения момента импульса: $$mr^2 \frac{d}{dt}\theta = \operatorname{const}.$$

g  ^1.00 Изобразите схематически на одном рисунке две орбиты: возмущенную и невозмущенную.