Logo
Logo

Ферритовый сердечник и трансформатор

Оборудование:

  1. Осциллограф
  2. Генератор переменного сигнала
  3. Цифровой мультиметр
  4. Провода BNC-банан
  5. Провода BNC-BNC
  6. Провода банан-банан
  7. Провод DuPont папа-мама тройной
  8. Макетная плата
  9. Потенциометры ($1~$кОм и $10~$кОм)
  10. Две резинки
  11. Тройной переходник BNC-плата
  12. Кусочки фольги толщины $50~$мкм, $100~$мкм, $200~$мкм, $300~$мкм
  13. Блок с встроенной катушкой датчика
  14. Пластиковая прокладка
  15. Два ферритовых сердечника
  16. Катушки A с количеством витков $N_A=300\pm1$ и B с $N_B=200\pm1$
  17. Конденсатор номиналом $(1.0\pm0.1)~$мкФ
  18. Резисторы номиналом $(10.0\pm0.1)~$Ом, $(100\pm1)~$Ом, $(51\pm1)~$кОм

 

Указание 1. Во всей работе сигнал генератора синусоидальный с удвоенной амплитудой $2U_0=12~В$ (учтите, что генератор показывает именно удвоенную амплитуду) и частотой $f_0=10~кГц$, если не сказано иное.

Указание 2. Потенциометры используйте только в пунктах B2-B4.

Ферриты — это соединения оксида железа $\mathrm{Fe_2O_3}$ с более оснОвными оксидами других металлов, являющиеся ферримагнетиками. Ферриты широко применяются в качестве магнитных материалов в радиоэлектронике, радиотехнике и вычислительной технике, поскольку сочетают высокую магнитную восприимчивость ($\chi\gg1$) с полупроводниковыми или диэлектрическими свойствами.

Феррит при нормальных условиях имеет низкую электропроводность. Поэтому потерями, связанными с наличием вихревых токов в ферритовых сердечниках, можно пренебречь, если не оговорено иное.

Осторожно обращайтесь с ферритовыми сердечниками, они хрупкие! 

Часть A. Экранирование магнитных полей вихревыми токами (3.8 балла)

Как известно, переменные магнитные поля вызывают в проводниках вихревые токи. В свою очередь, вихревые токи порождают противодействующие поля. В сверхпроводниках вихревые токи полностью выталкивают магнитное поле наружу. Обычные металлы не обладают подобным свойством из-за конечной проводимости и потому менее эффективны в экранировании магнитных полей.

Для описания экранирования магнитных полей с помощью алюминиевой фольги примите следующую модель $$B=B_0e^{-\alpha{}d}{,}$$
где $B_0$ — магнитное поле в отсутствии фольги, $B$ — величина магнитного поля, прошедшего через фольгу, $\alpha$ — постоянная затухания, $d$ — толщина фольги.

Соответствие между выводами типа «банан» и пинами показано на рисунке. Между выводами $1$ и $2$ находится сама катушка, между выводами $2$ и $3$ — последовательно соединённый с ней резистор. Вместо него вы также можете использовать резисторы (18).

A0 Измерьте сопротивления катушек A и B ($r_A$ и $r_B$ соответственно), а также сопротивления последовательно соединённых с ними резисторов. Все значения должны лежать в диапазоне до $15~Ом$.

Указание 3. В дальнейших пунктах омическим сопротивлением катушек можно пренебречь, если не указано иное.

Наденьте на ферритовый сердечник катушку A (как показано на рисунке) и положите его ножками вниз на блок таким образом, чтобы катушка A находилась непосредственно над встроенной в платформу катушкой датчика. Закрепите сердечник на блоке с помощью резинок.

А1 Проведите измерения для проверки приведённой выше модели экранирования магнитных полей при частоте $f=10~$кГц. Постройте линеаризованный график и найдите коэффициент затухания $\alpha$ для данной частоты. Фольгу необходимо располагать между катушкой A и катушкой датчика.

A2 Определите коэффициент затухания $\alpha$ для нескольких частот в диапазоне $5-25~кГц$.

А3 Постройте график зависимости $\alpha$ от частоты.

Часть B. Исследование трансформатора (4.8 балла)

Трансформатор представляет собой несколько проволочных обмоток, намотанных на общий сердечник (магнитопровод), сделанный из материала с магнитной проницаемостью $\mu\gg1$, где $\mu$ определяется выражением $$\vec{B}=\mu\mu_0\vec{H}{,}$$ где $\vec{B}$ — вектор индукции магнитного поля, $\vec{H}$ — вектор напряжённости магнитного поля. Обмотку, подключаемую к источнику тока, называют первичной, а другую, подключаемую к нагрузке, — вторичной. В этой части считайте катушку A первичной обмоткой, а катушку B - вторичной. Ток в первичной обмотке создает поток, который в силу свойств сердечника практически не рассеивается вдоль магнитопровода. Этот поток индуцирует ток во вторичной обмотке. Трансформаторы обычно используют, чтобы увеличить или уменьшить амплитуду напряжения и гальванически разделить электрические цепи входа и выхода (т.е. передать сигнал с одного контура на другой без утечки тока).

Расположите два U-образных ферритовых сердечника с двумя катушками (как показано на рисунке) и скрепите их резинками. Подайте с помощью генератора синусоидальный сигнал $U_g(t)=U_0\sin2\pi{}f_0{}t$ с частотой $f_0$ на первичную катушку.

Одной из характеристик трансформатора является коэффициент трансформации $m=\dfrac{U_{out,0}}{U_{in,0}}$, где $U_{in,0}$ и $U_{out,0}$ — амплитуды напряжений на первичной и вторичной катушках соответственно.

B1 Экспериментально определите $m$. Нарисуйте схемы измерений, необходимых для получения численного значения этой величины.

Теперь замкнём вторичную катушку на реостат. Сопротивление реостата обозначим $R$. Введём $P_{пол}$ — усреднённую полезную мощность, выделяющуюся на реостате, и $P_0$ — усреднённую по времени мощность генератора. Работайте на частоте генератора $f_1 = 200~Гц$.

B2 Снимите зависимость $P_{пол}$ и $P_0$ от амплитуды тока во вторичной катушке $I_{B,0}$.

КПД трансформатора $\eta$ определяется как $\eta=\dfrac{P_{пол}}{P_0}$.

B3 Постройте график зависимости $\eta(I_{B,0})$. Укажите максимальное КПД $\eta_{max}$ и при каком $I^{max}_{B,0}$ оно достигается.

В пункте B4 следует учесть омическое сопротивление катушек.

Проанализируем различные источники потерь. Отдаваемая в трансформатор мощность $P_0$ «раскладывается» на полезную мощность $P_{пол}{,}$ иные джоулевые потери в катушках и резисторах $P_{\text{Дж}}$ и потери в сердечнике $P_{серд}$. $$P_0=P_{пол}+P_{Дж}+P_{серд}$$

B4 Получите зависимости относительного вклада каждого источника потерь $\dfrac{P_{Дж}}{P_0}$ и $\dfrac{P_{серд}}{P_0}$ от амплитуды тока во вторичной катушке $I_{B,0}$. Постройте их графики.

Часть C. Катушки на сердечнике (6.4 балла)

Одна катушка 

Для начала рассмотрим сердечник с одной катушкой, через которую течёт ток $I$. Магнитный поток $\Phi{,}$ который ток создаёт в ферритовом сердечнике внутри катушки, пропорционален току $I$ и числу витков $N$. Кроме того, поток зависит от геометрического фактора $g$, который определяется размером и формой сердечника, и магнитной проницаемости $\mu$, которая описывает магнитные свойства материала сердечника.

Таким образом, магнитный поток $\Phi$ задаётся формулой 

$$\Phi=\mu\mu_0{}gNI{.}$$

Считайте, что на катушку подаётся сигнал с угловой частотой $\omega$.

Считайте, что $g$ для катушек A и B одинаков.

C1 Получите уравнение, связывающее между собой амплитуды тока и напряжения в катушке.

Две катушки

Теперь рассмотрим сердечник с двумя катушками. Ферритовый сердечник можно использовать для связи катушек A и B между собой. В идеальном сердечнике магнитный поток будет одинаковым для всех поперечных сечений, но из-за рассеяния потока в реальных сердечниках поток поля, создаваемого катушкой A, через катушку A и поток этого поля через катушку B связаны следующим образом: 

$$ \Phi_B=k\Phi_A,$$ где $k<1$ — так называемый коэффициент связи. 

Аналогично ток в катушке B, создаст поток $\Phi'_B$ через катушку B и

$$ \Phi'_A =k\Phi'_B$$

через катушку A.

Экспериментально проверено, что коэффициент $k$ не зависит от того, какая катушка взята в качестве первичной. Пусть катушка А является первичной катушкой, т.е. подключенной к генератору с синусоидальным напряжением $U_g(t)=U_0\sin2\pi{}f_0{}t$ (напомним, $N_A=300\pm1$). Рассмотрим ситуацию, когда ток через катушку B не протекает.

Во всех пунктах этой части (кроме С13) схема расположения катушек на сердечнике такая же, как в части B. 

 

C2 В этом случае получите выражения для ЭДС индукции $\mathcal{E}_A(t)$ и $\mathcal{E}_B(t)$ в катушках A и B соответственно. Ответ выразите через $N_A$, $N_B$, $k$, $U_g(t)$. Ток в первичной катушке считайте положительным, если он течет от «плюса» источника к «минусу».

Пусть теперь через катушку B протекает ток $I_B(t)$.

C3 Получите выражение для производной тока в катушке A $\dfrac{dI_A(t)}{dt}$. Ответ выразите через $\mu$, $\mu_0$, $g$, $N_A$, $N_B$, $k$, $U_g(t)$, $I_B(t)$. Считайте токи $I_A$ и $I_B$ одного знака, если создаваемые ими потоки складываются.

Общепринятым способом описания зависимости между током и ЭДС индукции в катушке является определение собственной индуктивности катушки $L$ следующим образом: $$\mathcal{E}(t)=-L\dfrac{dI(t)}{dt}$$

C4 Получите теоретические выражения для собственных индуктивностей $L_A$ и $L_B$. Ответ выразите через $\mu$, $\mu_0$, $g$, $N_A$, $N_B$.

C5 Экспериментально определите $L_A$, $L_B$, $k$. Нарисуйте схемы измерений, необходимых для получения численных значений этих величин.

C6 Покажите, что пренебрежение внутренним сопротивлением катушки оправдано.

При коротком замыкании вторичной катушки ток в первичной изменится. Обозначим его $I_P(t)$.

C7 Получите в явном виде выражение для $I_P(t)$ через $f_0$, $L_A$, $k$, $U_g(t)$ и найдите численное значение его амплитуды $I_{P,0}$.

C8 Экспериментально определите $I_{P,0}$.

Катушки A и B могут быть включены в цепь последовательно двумя различными способами: два создаваемых потока либо суммируются, либо вычитаются друг из друга.

C9 Выразите собственную индуктивность последовательно соединенных катушек $L_{A+B}$ в случае, когда потоки от разных катушек суммируются. Ответ выразите через $L_A$, $L_B$, $k$.

Соедините катушки A и B последовательно так, чтобы создаваемые ими потоки суммировались.

C10 Экспериментально определите $L_{A+B}$.

C11 Используя экспериментальные значения $L_A$, $L_B$, $L_{A+B}$, найдите коэффициент связи $k$. Сравните полученное значение с полученным в пункте C5.

C12 Проведите измерение амплитуды ЭДС индукции на катушках $\mathcal{E}_{A,0}$ и $\mathcal{E}_{B,0}$, когда направления создаваемых потоков противоположны и найдите отношение $\dfrac{\mathcal{E}_{A,0}}{\mathcal{E}_{B,0}}$. Получите теоретическое выражение для $\dfrac{\mathcal{E}_{A,0}}{\mathcal{E}_{B,0}}$. Ответ выразите через $k$, $N_A$, $N_B$.

Тонкая пластиковая прокладка, вставленная между двумя сердечниками, значительно снижает индуктивность катушки. Предположим, что $\mu_{пл}=1$ для пластиковой прокладки. Толщина прокладки составляет $(1.20\pm0.02)~$мм. Считайте, что наличие пластиковой прокладки слабо влияет на картину магнитных линий, а их характерная длина внутри замкнутых друг на друга ферритовых сердечников равна $(24\pm1)~$см.

C13 Определите относительную магнитную проницаемость $\mu$ ферритового материала. Нарисуйте схемы измерений, обозначив на них линии индукции магнитного поля.

Часть D. Исследование гистерезиса (5.0 балла)

Внимание! В этой части вам понадобится режим X-Y на осциллографе. Для перехода в этот режим нажмите кнопку MENU, выберите Time Base и режим X-Y (см. рисунок справа).

Гистерезис — свойство систем, отклик которых на приложенное к ним воздействие зависит не только от их текущего состояния, но и от их «предыстории». Например, если растянуть резиновый шнур, а затем снова вернуть его в нерастянутое состояние, его длина до и после растяжения будет различной. Это называется упругим гистерезисом.

Подобное явление наблюдается и в случае с полем в веществе и называется магнитным гистерезисом. Оказывается, если периодически изменять величину напряжённости поля $H$, график зависимости $B(H)$ не будет проходить через точку $(0,0)$.

На рисунке жирным выделена зависимость $B(H)$ для некоторой фиксированной амплитуды $H$. Когда $H$ увеличивается, $B$ изменяется по траектории 4-5-6-1, когда уменьшается — по траектории 1-2-3-4. Такой цикл называется петлёй гистерезиса. Пунктирными линиями показаны петли гистерезиса для различных амплитуд $H$.

Если соединить крайние точки для всех петель, получится некоторая кривая (кривая 0-1 на рисунке), называемая кривой намагничивания, она описывает связь между $B$ и $H$ для размагниченного образца, впервые помещаемого во внешнее поле (линия 0-1). В данной части задачи нам потребуется получить кривую намагничивая феррита и с помощью неё исследовать другие магнитные свойства этого материала.

В этой части используйте две катушки на ферримагнитном сердечнике (подавайте сигнал на катушку A и снимайте сигнал с катушки B). Используйте максимально возможное значение амплитуды $U_{in}$, если не оговорено иное. Частоту подаваемого синусоидального сигнала можно менять, но она должна лежать в диапазоне $[40; 10000]~Гц$.

Чтобы получить на экране осциллографа петлю гистерезиса, сигналы на двух каналах осциллографа $U_1(t)$ и $U_2(t)$ должны быть пропорциональны $H$ и $B$ соответственно. 

По теореме о циркуляции 

$$H \sim{I}$$

где $I$ — ток через первичную катушку. Его можно измерить с помощью последовательно подключенного к первичной катушке резистора. 

Напряжение на вторичной катушке $U$ по закону Фарадея

$$U \sim{\cfrac{dB}{dt}}$$

Чтобы получить $B(t)$, нужно подать напряжение со вторичной катушки $U$ на интегрирующую схему, напряжение на выходе которой 

$$U_{2} \sim \int U dt \sim{B}$$

Считайте сечение сердечника круглым с диаметром $d = (20.1\pm0.1)~мм$. Во время измерений не допускайте сильных вибраций сердечников (для этого используйте резинки и дополнительно придерживайте их рукой).

Примечание: если сердечники начинают сильно вибрировать, заново поставьте их друг на друга и прижмите сверху.

 

 

 

D1 Соберите интегрирующую схему для рисунка выше, сигнал на выходе которой пропорционален $B(t)$. Подберите её параметры так, чтобы током через вторичную катушку можно было пренебречь. Зарисуйте собранную схему в листах ответов и укажите подобранные параметры.

D2 С помощью осциллографа получите петли гистерезиса при разных частотах и зарисуйте полученные зависимости.

Обозначим частоту, при которой гистерезис виден наилучшим образом, $f_b$.
В следующем пункте вы можете регулировать напряжение $U_{in}$.

D3 Запишите $f_b$ в лист ответов. При частоте $f_b$ получите кривую намагничивания $B(H)$, регулируя напряжение $U_{in}$, и постройте её.

Введем понятие нормальной относительной магнитной проницаемости $\mu_{n}=\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{B}{H}$.

D4 Постройте график $\mu_{n}(H)$ для зависимости из прошлого пункта. Укажите характерные точки, если они есть.