Обозначим скорость реки - $u$, а скорости катера и теплохода в СО реки - $v_к$ и $v_т$ соответственно.
Графические методы решения
1 метод (графический в СО реки):
2 метод (графический в СО Земли):
Аналитические методы решения
3 метод (аналитический в СО Земли):
Запишем уравнения движения тел в СО Земли:
\[\begin{cases}
x_п=ut \\
x_к= (v_к+u)t , при \ t \in [0, 2\tau]\\
x_к= (v_к+u)2\tau - (v_к - u)(t-2\tau), при \ t > 2\tau \\
x_т=x_0-(v_т-u)t
\end{cases}\]
Условие встречи теплохода и катера в момент времени $\tau$:
$$x_0-(v_т - u)\tau = (v_к+u)\tau,$$откуда $x_0 = (v_к+v_т)\tau$.
Условие второй встречи катера с плотом (в момент времени $t_1$:
$$(v_к+u)2\tau - (v_к - u)(t_1-2\tau) = ut_1,$$откуда $t_1 = 4\tau$
Следовательно, вторая встреча катера с теплоходом произошла в момент времени $6\tau$. Условие этой встречи:
$$(v_к+u)2\tau - (v_к - u)(6\tau-2\tau) = x_0-(v_т-u)6\tau, $$откуда $$
\frac{v_к}{v_т} = \frac{5}{3}
$$
Условие встречи теплохода и плота:
$$u\tau_0 = x_0-(v_т-u)\tau_0,$$откуда $$\tau_0=\tau \frac{v_к+v_т}{v_т} = \frac{8}{3}\tau. $$
4 метод (аналитический в СО реки):
Запишем уравнения движения тел в СО реки:
\[$\begin{cases}
x_п= 0 \\
x_к= v_кt , при \ t \in [0, 2\tau]\\
x_к= v_к2\tau - v_к(t-2\tau), при \ t > 2\tau \\
x_т=x_0-v_тt
\end{cases}\]
Условие встречи теплохода и катера в момент времени $\tau$:
TEXEQUATION
откуда $x_0 = (v_к+v_т)\tau$.
Условие второй встречи катера с плотом (в момент времени $t_1$:
TEXEQUATION
откуда $t_1 = 4\tau$
Следовательно, вторая встреча катера с теплоходом произошла в момент времени $6\tau$. Условие этой встречи:
$$x_0-v_т\tau = v_к\tau,$$откуда $$v_к2\tau - v_к(t_1-2\tau) = 0,$$
Условие встречи теплохода и плота:
$$v_к2\tau - v_к (6\tau-2\tau) = x_0-v_т6\tau, $$откуда $$
\frac{v_к}{v_т} = \frac{5}{3}
$$