Logo
Logo

Источник и конденсатор

1  ?? Определите значение ЭДС и внутреннего сопротивления источника питания.

Подключаем последовательно источник, конденсатор и вольтметр, замыкаем цепь и фиксируем время изменения напряжения вольтметра от значения $U_1$ до $U_2$. В качестве значения $U_1$ нельзя выбирать показания прибора в первые две – три секунды после включения, так как из-за инерции цифрового прибора они недостоверны. Аналогичные измерения повторяем несколько раз, каждый раз отключая конденсатор и замыкая его выводы для полного разряда.
Для заряда конденсатора
$$\frac{dq}{dt}(2r+R_V)=U_0-\frac{q}{C},$$
$$q=CU_0\left (1-e^{-t/\tau_1 } \right),$$
где $U_0$ ,$r$ — ЭДС и внутреннее сопротивление источника, $R_V$ — сопротивление вольтметра, $\tau_1=C(2r+R_V )$ — характерное время заряда конденсатора. Напряжение на вольтметре при этом
$$U_V=\frac{dq}{dt} (2r+R_V )=\frac{U_0 R_V}{r+R_V } e^{-t/\tau_1 }$$
Для отношения напряжений, измеренных вольтметром с разницей по времени $\Delta t$
$$\frac{U_1}{U_2} =e^{\Delta t/\tau_1},$$
Отсюда
$$\tau_1=\frac{\Delta t}{\ln⁡\dfrac{U_1}{U_2}} .$$
Экспериментальные результаты, полученные для разных пар значений $U_1$ и $U_2$, и пересчитанные на основании этих результатов значения $\tau_1$ представлены в таблице 1.

Усреднённое по сериям экспериментов характерное время заряда конденсатора составляет $\tau_1=18,83 \text{с}$.

$U_1$, В$U_2$, В$\Delta t$, с$\Delta t$ среднее, с$\tau_1$, с
1,50,5

20,62

20,94

21,00

20,66

20,72

20,7918,92
1,60,8

13,03

13,06

13,09

13,28

13,18

13,09

13,1218,93
1,60,4

25,91

25,72

25,94

25,78

25,75

25,8218,63

Подключаем конденсатор к источнику, держим его подключенным в течение одной-двух минут, затем отключаем. Подключаем к заряженному конденсатору вольтметр и фиксируем время, в течение которого конденсатор разряжается от напряжения $U_3$ до $U_4$. Для заряда на конденсаторе в этом процессе

$$\frac{dq}{dt}= -\frac{q}{(R_V+r)C},$$
$$q=CU_0 e^{-t/\tau_2 },$$

где $\tau_2$ — характерное время разряда конденсатора через вольтметр, $\tau_2=(R_V+r)C$. Для напряжения вольтметра справедливо
$U_V=CU_0 e^{-t/\tau_2}$

Для отношения напряжений, измеренных вольтметром с разницей по времени $\Delta t$
$$\frac{U_3}{U_4} =e^{\Delta t/\tau_2 }$$
Отсюда
$$\tau_2=\frac{\Delta t}{\ln⁡\dfrac{U_3}{U_4}} .$$
По-прежнему, в качестве значения $U_3$ нельзя выбирать показания прибора в первые две – три секунды после включения.
Экспериментальные результаты, полученные для разных пар значений $U_3$ и $U_4$, и пересчитанные на основании этих результатов значения $\tau_2$ представлены в таблице 2.

Усреднённое по сериям экспериментов характерное время заряда конденсатора составило $\tau_2=11,30 \text{с}$.

$U_3$, В$U_4$, В$\Delta t $, с$\Delta t $ среднее, с$\tau_2$ среднее, с
1,50,5

12,34

12,38

12,34

12,40

12,43

12,3811,27
2,01,0

7,88

7,82

7,81

7,81

7,94

7,8511,33
2,00,5

15,78

15,59

15,72

15,65

15,63

15,6711,31

Определим внутреннее сопротивление источника. Используя результаты измерений $\tau_1$ и $\tau_2$, можно определить отношение
$$
\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{2 r + R_V}{r + R_V} = 1{,}67.
$$
Отсюда
$$
\frac{r}{R_V} \approx 2{,}0, \quad r \approx 2{,}0 \text{МОм}.
$$
Определим ЭДС источника. Подключаем вольтметр к источнику. Напряжение на вольтметре
$$
U_V = U_0 \frac{R_V}{R_V + r}.
$$
Экспериментально измеренное значение $U_V = 3{,}24 \text{В}$. Отсюда
$$
U_0 = U_V \frac{R_V + r}{R_V} \approx 9{,}72 \text{В}.
$$

Ответ: $$
r \approx 2{,}0 \text{МОм}, \quad U_0 \approx 9{,}72 \text{В}.
$$

2  ?? Определите электрическую ёмкость конденсатора.

Значение электрической емкости конденсатора
$$
C = \frac{\tau_1}{2r + R_V} \approx 3{,}75 \text{мкФ}.
$$

Ответ: $$
C \approx 3{,}75 \text{мкФ}.
$$