1  ^0.50 При отражении от предметного стекла на линейке различимы два зайчика. Обратите внимание, что если луч лазера попадает на неискривленную поверхность стекла, то при движении стекла вдоль стола зайчики на линейке неподвижны. Однако при попадании на искривленную поверхность, зайчики смещаются от исходного положения и расстояние между ними изменяется. Кратко объясните причину возникновения двух зайчиков на линейке.

Соберем установку, описанную в условии. Луч лазера может отражаться как от верхней поверхности стекла, так и от нижней. Заметим, что когда луч лазера падает на нисходящую поверхность, то отраженный луч должен идти под углом большим к вертикали, нежели при падении на горизонтальную поверхность стекла. Так как на линейке только один зайчик от лазера при падении на нисходящую поверхность уходит вниз, то именно он и образован лучом, отраженным от верхней поверхности стекла.

2  ^1.50 Измерьте зависимость высоты $y$ зайчика лазерного луча на линейке, отраженного от верхней поверхности стекла, от координаты $z$ стекла на направляющей. Запишите расстояние $x$ между линейкой и местом падения луча на стол.

 Не забудьте указать в работе номер использованного вами стекла.

Проведем измерения положения зайчика, образованного лучом, отраженным от верхней поверхности стекла, в зависимости от координаты $z$.

3  ^1.50 Рассчитайте зависимость угла $\Delta \alpha$ от координаты $z$ стекла на направляющей.

С помощью измерения начальной координаты зайчика $y_0=24.1$ см, расстояния от места падения луча до линейки $x=32.8$ см и текущего положения зайчика $y$ на линейке легко рассчитать углы отклонения отраженного луча в каждой точке:

\begin{equation}
\Delta \alpha=\arctan{\frac{y_0}{x}}-\arctan{\frac{y}{x}}.
\end{equation}

4  ^4.00 По полученным данным рассчитайте глубину лунки $H$.

Проведем расчеты и построим график зависимости $\Delta \alpha (z)$.

При отражении от верхней поверхности стекла, наклоненной под углом $\beta$ к горизонтали, луч поворачивается на угол $\Delta \alpha=2\beta$ относительно отраженного от горизонтальной поверхности луча (см. рисунок 4).

$z, мм$	$y, см$	$\Delta\alpha, 10^{-3} рад$	$\beta, 10^{-3} рад$	$h, мкм$
0	3.5	0.0	0.0	0
1	3.4	0.0	0.0	0
2	3.3	6.0	3.0	3
3	3.2	10	5.0	8
4	3.1	57.7	28.9	37
5	3.0	97.3	48.6	85
6	2.9	79.5	39.7	125
7	2.8	66.4	33.2	158
8	2.7	47.1	23.5	182
9	2.6	30.4	15.2	197
10	2.5	16.0	8.0	205
11	2.4	4.0	2.0	207
12	2.3	-9.8	-4.9	202
13	2.2	-25.3	-12.6	190
14	2.1	-38.5	-19.2	170
15	2.0	-55.0	-27.5	143
16	1.9	-71.2	-35.6	107
17	1.8	-83.4	-41.7	66
18	1.7	-100.5	-50.2	15
19	1.6	-58.7	-29.3	-14
20	1.5	-9.8	-4.9	-19
21	1.4	-3.9	-2.0	-21
22	1.3	0.0	0.0	-21

Угол наклона поверхности лунки мал, поэтому его в каждой точке можно связать с величиной увеличения глубины лунки на каждом участке длиной $\Delta z$ (рисунок 5):

\begin{equation}
\Delta h = \beta \Delta z.
\end{equation}

Тогда суммируя все $\Delta h$ до определенной координаты $z$ можно рассчитать глубину лунки в данной координате, то есть определить профиль лунки.

Рассчитаем для каждой координаты угол наклона поверхности $\beta$ и глубину лунки $h$ на этой координате. Построим график зависимости глубины $h$ от координаты $z$.

Видно, что в самом глубоком месте поверхность лунки смещена от верхней поверхности стекла приблизительно на 0.21 мм. Заметим, что график зависимости $h(z)$ не вернулся на прежний уровень с ошибкой 0.02 мм. Таким образом, ошибка измерения глубины лунки составит приблизительно 10 \%.

5  ^2.50 Измерьте толщину предметного стекла $d$ с точностью не меньшей 0.1 мм. Оцените погрешность измерения.

Для измерения толщины предметного стекла подложим под краешек стекла, от которого будет происходить отражение, другое предметное стекло (рис. 6).

Измерим изменение угла отражения луча $\varphi$ от стекла при подкладывании под него еще одного стекла. Для этого измерим изменение высоты падения лазерного лучика на линейку ${\Delta y' = (3.0\pm0.2) \ см}$, а также начальное положение зайчика на линейке ${y' = 44 \ см}$ и расстояние между линейкой и точкой падения луча на отражающую поверхность ${x'=47.9 \ см}$. Тогда с помощью простейших геометрических расчетов можно определить значение угла $\varphi$:

\begin{equation}
\phi=\frac{\arctan{\frac{y'}{x'}}-\arctan{\frac{y'-\Delta y'}{x'}}}{2} = (1.75\pm0.09)\cdot10^{-2} \ \text{рад}.
\end{equation}

Для оценки погрешности угла воспользуемся методом границ. Очевидно, что основной вклад в погрешность измерения этого угла вносит величина $\Delta y'$. Подставим в вычислительную формулу для угла минимальное и максимальное значения этой величины, оценив таким образом диапазон значений $\varphi$.

\begin{equation}
\begin{matrix}
\varphi_{min} = \varphi(\Delta y' = 4.0 \ \text{мм}) = 1.64\cdot10^{-2} \ \text{рад}; \\
\varphi_{max} = \varphi(\Delta y' = 4.4 \ \text{мм}) = 1.89\cdot10^{-2} \ \text{рад}; \\
\\
\sigma_{\varphi}=\dfrac{\varphi_{max}-\varphi_{min}}{2}=0.13.
\end{matrix}
\end{equation}

Измерим также расстояние между точкой опоры отражающего стекла и местом его соприкосновения со стеклом-подставкой $l=(56\pm1)$ мм. Тогда окончательно толщина стекла составит:

\begin{equation}
d=l\phi=(0.98\pm0.09) \ \text{мм}.
\end{equation}

Погрешность величины $d$ оценим, сложив относительные погрешности величин $l$ и $\phi$:

\begin{equation}
\sigma_d=d(\varepsilon_l+\varepsilon_\phi)=1.0\cdot\Big(\frac{1}{56}+\frac{9}{179}\Big)= 0.07 \ \text{мм}.
\end{equation}