Просто посмотрев на ящик, можно предположить его устройство. Внутри точно находится зеркальная поверхность, а «на входе» находится плоско-вогнутая или плоско-выгнутая линза.
Будем отталкиваться от этой самой простой модели.
Введем координату $x$ и будем ее отсчитывать от центра линзы. Угол падения луча на плоскую поверхность линзы назовем $\beta$.
Проведем эксперимент, в котором луч лазера выходит из системы так, что возвращается в изначальную точку. Обозначим угол падения, при котором так происходит за $\beta_1$ и изучим зависимость $\beta_1$ от коориднаты точки падения $x_1$ луча на линзу.
Считая углы малыми, можно сказать, что
\[ \gamma_1 = \beta_1 + \frac{x_1}{F}. \] При этом, если угол падения на зеркало $\theta$, то
\[ \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) + \alpha_0 + \left( \frac{\pi}{2} - \gamma_1 \right) = \pi, \] значит
\[ \theta = \gamma_1 - \alpha_0. \]
Луч вернется по исходному маршруту в случае, когда $\theta=0$, поэтому
\[ \gamma_1 = \alpha_0, \] а в терминах нашей зависимости
\[ \beta_1 + \frac{x_1}{F} = \alpha_0. \] То есть, согласно теории, зависимость $\beta_1$ от $x_1$ прямая с углом наклона $-1/F$ и свободным членом $\alpha_0$. В результате $\alpha_0 = (28 \pm 1)~^\circ$, $F=(77 \pm 4)~\text{мм}$.
Пусть зеркало пересекает плоскость линзы в точке с координатой $x_0$. Для нахождения этой координаты предлагается следующий эксперимент. При одинаковом угле падения $\beta_0=30~^\circ$ и разных $x_2$ будем смотреть за координатой $t$ луча на выходе из системы.
Внутри ящика луч идет под углом $\gamma_2=\beta_0 + \dfrac{x_2}{F}$ к линзе до отражения и углом $\delta$ после отражения.
\[ \left( \delta + \frac{\pi}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{2} - \gamma_1\right) + 2 \theta = \pi\] \[ \delta = \gamma_2 - 2 \theta = 2 \alpha_0 - \gamma_2 \]
Если расстояние от линзы до зеркала в этих случаях примерно равно $D=\alpha_0 (x_2+x_0)$, то
\[ x_2 - t = D ( \gamma_2 - \delta ) = 2D ( \gamma_2 - \alpha_0 ), \] \[ x_2 - t = 2 \alpha_0 (x_2+x_0) \left( \beta_0 - \alpha_0 + \frac{x_2}{F} \right) \approx 2 \alpha_0 \frac{x_2}{F} (x_2+x_0) \]
Тогда на зависимости $x_2 - t$ от $x_2$ в окрестности $x=0$ график будет иметь наклон $2 \alpha_0 \dfrac{x_0}{F}$. В итоге $x_0 = (30 \pm 4)~\text{мм}$.
