Logo
Logo

Универсальный измеритель

1  ?? Определите массу выданного вам металлического шарика (пульки).

Изготовим из трубочки и пластилина устройство («ареометр») для измерения массы. Для этого на один из концов прикрепим шарик из пластилина. Важно добиться герметичного соединения пластилина с трубочкой, чтобы через пластилиновую пробку не подтекала вода. Основным параметром при измерении массы небольших предметов, помещённых внутрь ареометра, является изменении глубины его погружения в воду $\Delta h$. Это изменение удобно определить по положению верхнего конца трубочки (торчащего из воды). Для этого можно, например, приклеить полоску миллиметровой бумаги на сосуд с водой.

Масса предмета m при этом рассчитывается через изменение силы Архимеда
$$m= \rho S \Delta h, $$
где $\rho$ — плотность воды, $S=\dfrac{ \pi d_0^2}{4}$ — площадь сечения трубочки, $d_0$ — её внешний диаметр.
Измерим диаметр трубочки, обмотав её несколькими витками нитки. В нашем случае длина 10 витков нитки составила $L=150\pm 2 мм$. Соответственно, $d_0= \dfrac{L}{10 \pi}=4,8 \pm0,05 мм$. При этом $S=\dfrac{\pi d_0^2}{4}=17,3 \pm 0,4 мм^2$. Относительная погрешность $\varepsilon_S\approx 0,02$.

Измерение массы пулек

Помещаем пульки в трубочку до тех пор, пока ареометр почти полностью не погрузится в воду. При длине трубочки $\approx18 см$ и диаметре $d_0 \approx 4,8 мм$ достаточно 7 шариков, чтобы трубка почти полностью погрузилась в воду (при массе пластилина примерно 1,5 г). С помощью миллиметровки измеряем расстояние от верхнего конца трубочки до поверхности воды с пульками (при 6 пульках, помещённых в ареометр). Начнём вынимать шарики из ареометра по одной штуке, наблюдая за устойчивостью ареометра. В какой-то момент времени он потеряет устойчивость, начинает опрокидываться. Оставим в нем минимальное число пулек, при котором ареометр все ещё устойчиво плавает (при длине трубочки$\approx18 см$ , диаметре $d_0 \approx 4,8 мм$ и массе пластилина 1,5 г минимальное число шариков равно 2). Определим расстояние от верхнего конца ареометра до поверхности воды $l_2 \approx 9,4 см$ . Тогда 

$$ N \cdot m g = \rho_{в} g (l_2 - l_1) \pi \frac{d_0^2}{4}, $$

где $N$ — количество шариков, которые мы вытащили из ареометра. Отсюда масса одной пульки 

$$m = \frac{\rho_{в} \pi d_0^2}{4 N} (l_2 - l_1) \approx 0,33 {г}.$$

Оценим погрешность определения массы пульки. Будем считать, что величина $\Delta l = l_2-l_1$ определяется с погрешностью $\pm 2 {мм}$, с относительной погрешностью $\varepsilon_{\Delta l}\approx 0,03$. Тогда относительная погрешность определения массы пулек составляет $\varepsilon_m\approx \varepsilon_{\Delta l} +\varepsilon_S \approx 0,05$. Таким образом, масса одной пульки $m=0,33\pm0,02 { г}$. 

Контрольное измерение массы пульки с помощью электронных весов даёт $m \approx 0,34 {г}$.

Примечание. В данном методе используется небольшой кусочек пластилина, равновесие пустого ареометра обеспечивается шариками, которые всегда находятся внутри ареометра. Это же равновесие можно обеспечить, используя соответствующее количество пластилина. 

Ответ: $$m=0,33\pm0,02 \text{ г}.$$

2  ?? Определите диаметр жилы (внутреннего проводника) проводов.

Внутрь трубочки помещаем медный провод. Массу пластилина при необходимости «регулируем», подбираем такой, чтобы ареометр почти полностью погружалось вместе с медным проводом. Масса провода слишком большая, и устойчиво плавающий без провода «пустой» ареометр тонет, если опустить в него медный провод.

С помощью миллиметровки измеряем глубину погружения трубочки (высоту конца, который торчит из воды) с проводом $h_{м}$. Повторяем измерения для алюминиевого проводника (рис. 2а и 2б) ,
получим глубину погружения $h_{a}$. Результаты измерений:
$$h_{{м}} = 90 \pm 1.5 {мм}; \quad h_{{а}} = 22 \pm 1.5 {мм}; \quad \Delta h =h_{{м}}- h_{{а}} = 68 \pm 3 {мм},$$
где $\Delta h$ —– разность высот, на которую поднимается ареометр при замене медного на алюминиевый проводник.

Измеряем длину проводов $l=77\pm1 {мм}$. Разница масс медного и алюминиевого проводов, определённая таким способом составляет
$$\Delta m = m_{м}-m_{а}=\rho S(h_{м}-h_{а} )=\rho S\Delta h\approx 1,2 {г}.$$
При этом относительная погрешность $\varepsilon_{\Delta m} \approx\varepsilon_S+\varepsilon_{\Delta h}\approx 0,02+0,04=0,06$, абсолютная погрешность $\Delta_{\Delta m}\approx 0,07 {г}$.

Разница в массах обусловлена разностью плотностей меди и алюминия
$$\Delta m = (\rho_{м} - \rho_{а}) \frac{\pi d^2}{4} l.$$
Отсюда $d = \sqrt{\frac{4 \Delta m }{\pi (\rho_{м} - \rho_{а}) l }} \approx 1,8 {мм}$. Относительная погрешность определения $d$:
$$ \varepsilon_d = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_{\Delta m} + \varepsilon_l\right) \approx 0,04$$
Окончательно $d = 1,8 \pm 0,07 {мм}$.
При заявленном производителем сечении жилы $2,5 {мм}^2$ диаметр ее должен составлять $1,78 {мм}$.

Ответ: $$d = 1,8 \pm 0,07 {мм}.$$