Logo
Logo

Оптика воды

Введение

Если вы хотя бы раз ходили купаться на реку, то скорее всего замечали интересные оптические свойства «реальной» воды. Речь идёт преимущественно о процессах рассеяния и поглощения на самой воде и структурах внутри неё (частицах, пузырьках и т.д.) [см. рис. 1].

Эти явления могут сказать опытному исследователю многое о свойствах и характеристиках воды в том или ином водоёме, поэтому методы решения задач рассеяния и поглощения представляют в том числе и прикладной интерес. Этому и будет посвящена данная задача.

Часть A. Молекула воды и коэффициент поглощения (3.5 балла)

Молекула воды ($\mathrm{H_2O}$) состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода, образующих равнобедренный треугольник. Как и любая механическая система, молекула воды может испытывать колебания относительно положения равновесия. Все три возможные моды колебаний молекулы воды показаны на рис. 2.

Когда частота распространяющейся в воде электромагнитной волны оказывается примерно кратной одной из собственных частот колебаний молекулы, эти колебания возбуждаются в молекулах воды с очень большой амплитудой, «забирая» энергию волны и в дальнейшем переизлучая её во все стороны. Это приводит к тому, что показатель поглощения имеет локальные максимумы при этих частотах [см. рис. 3].

Примечание: Показатель поглощения определяет расстояние, по прохождении которого интенсивность луча падает в $e$ раз. Размерность $[\kappa]=м^{-1}$.

Поскольку масса атома кислорода намного больше массы атома водорода, его можно считать практически неподвижным. Более того, атомы водорода взаимодействуют друг с другом заметно слабее, чем с атомом кислорода.

По результатам экспериментальных исследований частоты двух мод колебаний практически совпадают, а частота третьей моды оказывается с хорошей точностью в два раза меньше других двух.

A1 Укажите, какая из мод имеет наименьшую собственную частоту. Обоснуйте свой ответ.

A2 Найдите длины волн $\lambda$ и частоты $\nu$, соответствующих локальным максимумам коэффициента поглощения.

Ясно, что все частоты, соответствующие локальным максимумам, должны быть кратны некоторой основной частоте $\nu_0$. Чтобы найти основную частоту, необходимо «уложить» эти точки на прямую, т.е. подобрать кратности частот так, чтобы получить линейную зависимость.

Чтобы это сделать, необходимо разработать критерий «попадания на прямую». Обычно в качестве критерия принимается попадание на прямую с учётом креста погрешности. В качестве погрешности возьмём полуширину на половинной высоте — минимальное отклонение частоты, при котором показатель поглощения падает в 2 раза.

A3 Найдите полуширину $\Delta\nu$ локальных максимумов коэффициента поглощения.

A4 На основе полученных результатов определите кратность частот, соответствующих локальным максимумам, а также найдите основную резонансную частоту $\nu_0$ колебаний молекулы воды. Графически определите погрешность $\nu_0$.

Часть B. Рассеяние на пузырьках (6.5 баллов)

В «реальной» воде происходит не только поглощение, но и рассеяние света. В этой задаче рассмотрим рассеяние на пузырьках воздуха. Пример показан на рис. 4.

Для простоты рассматриваем рассеяние на одиночном пузырьке [см. рис. 5]. Введём относительный прицельный параметр $\rho$ как отношение прицельного параметра к радиусу пузырька, угол отклонения обозначим $\psi$. Показатель преломления внутри пузырька равен $1$, снаружи — $n$.

Тогда угол отклонения запишется в виде\[\psi=2\left[\arcsin n\rho-\arcsin\rho\right],\]а интенсивность рассеянного излучения — как\[\mathcal J(\psi)\equiv\frac{\rho~ \mathrm d\rho}{\sin\psi~\mathrm d\psi}.\]На рис. 6 приведён график зависимости $\mathcal J(\psi)$, полученный экспериментально.

Честное решение обратной задачи (определение показателя преломления жидкости $n$ по распределению $\mathcal J(\psi)$) возможно, но довольно проблематично. В качестве компромисса предлагается рассмотреть асимптотическое поведение кривой $\mathcal J(\psi)$ в «удобном» приближении.

B1 Получите приближённое выражение для $\mathcal J(\psi)$, считая углы $\psi$ малыми.

В таблице в листе ответов приведены экспериментальные точки для $\mathcal J(\psi)$. $\mathcal J$ приведено в условных единицах.

$\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  $\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  
0.50.465  5.50.455  
1.00.464  6.00.444  
1.50.458  6.50.438  
2.00.462  7.00.448  
2.50.449  7.50.436  
3.00.444  8.00.434  
3.50.451  8.50.432  
4.00.459  9.00.442  
4.50.460  9.50.430  
5.00.445  10.00.429  
$\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  $\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  
10.50.414  15.50.384  
11.00.409  16.00.391  
11.50.412  16.50.382  
12.00.417  17.00.378  
12.50.410  17.50.370  
13.00.409  18.00.362  
13.50.404  18.50.360  
14.00.393  19.00.352  
14.50.393  19.50.347  
15.00.391  20.00.340  
$\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  $\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  
20.50.343  25.50.303  
21.00.343  26.00.300  
21.50.332  26.50.286  
22.00.321  27.00.282  
22.50.333  27.50.285  
23.00.317  28.00.275  
23.50.324  28.50.266  
24.00.315  29.00.264  
24.50.305  29.50.255  
25.00.299  30.00.259  
$\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  $\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  
30.50.244  35.50.200  
31.00.250  36.00.197  
31.50.236  36.50.202  
32.00.231  37.00.194  
32.50.225  37.50.187  
33.00.235  38.00.188  
33.50.225  38.50.185  
34.00.212  39.00.180  
34.50.214  39.50.192  
35.00.221  40.00.181  
$\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  $\psi,~{}^\circ$$\mathcal J,~у.е.$  
40.50.165  45.50.138  
41.00.166  46.00.145  
41.50.166  46.50.145  
42.00.171  47.00.143  
42.50.156  47.50.130  
43.00.165  48.00.132  
43.50.153  48.50.126  
44.00.154  49.00.119  
44.50.139  49.50.125  
45.00.148  ------  

 

B2 Линеаризуйте полученную зависимость и найдите показатель преломления жидкости $n$.

Указание: Не обязательно использовать все точки, чтобы получить хороший результат.