Введение

Если вы хотя бы раз ходили купаться на реку, то скорее всего замечали интересные оптические свойства «реальной» воды. Речь идёт преимущественно о процессах рассеяния и поглощения на самой воде и структурах внутри неё (частицах, пузырьках и т.д.) [см. рис. 1].

Эти явления могут сказать опытному исследователю многое о свойствах и характеристиках воды в том или ином водоёме, поэтому методы решения задач рассеяния и поглощения представляют в том числе и прикладной интерес. Этому и будет посвящена данная задача.

Часть A. Молекула воды и коэффициент поглощения (3.5 балла)

Когда частота распространяющейся в воде электромагнитной волны оказывается примерно кратной одной из собственных частот колебаний молекулы, эти колебания возбуждаются в молекулах воды с очень большой амплитудой, «забирая» энергию волны и в дальнейшем переизлучая её во все стороны. Это приводит к тому, что показатель поглощения имеет локальные максимумы при этих частотах [см. рис. 3].

Примечание: Показатель поглощения определяет расстояние, по прохождении которого интенсивность луча падает в $e$ раз. Размерность $[\kappa]=м^{-1}$.

Поскольку масса атома кислорода намного больше массы атома водорода, его можно считать практически неподвижным. Более того, атомы водорода взаимодействуют друг с другом заметно слабее, чем с атомом кислорода. По результатам экспериментальных исследований частоты двух мод колебаний практически совпадают, а частота третьей моды оказывается с хорошей точностью в два раза меньше других двух.

A1  ^0.30 Укажите, какая из мод имеет наименьшую собственную частоту. Обоснуйте свой ответ.

A2  ^0.90 Найдите длины волн $\lambda$ и частоты $\nu$, соответствующих локальным максимумам коэффициента поглощения.

Ясно, что все частоты, соответствующие локальным максимумам, должны быть кратны некоторой основной частоте $\nu_0$. Чтобы найти основную частоту, необходимо «уложить» эти точки на прямую, т.е. подобрать кратности частот так, чтобы получить линейную зависимость.

Чтобы это сделать, необходимо разработать критерий «попадания на прямую». Обычно в качестве критерия принимается попадание на прямую с учётом креста погрешности. В качестве погрешности возьмём полуширину на половинной высоте – минимальное отклонение частоты, при котором показатель поглощения падает в 2 раза.

A3  ^1.20 Найдите полуширину $\Delta\nu$ локальных максимумов коэффициента поглощения.

A4  ^1.20 На основе полученных результатов определите кратность частот, соответствующих локальным максимумам, а также найдите основную резонансную частоту $\nu_0$ колебаний молекулы воды. Графически определите погрешность $\nu_0$.

Часть B. Рассеяние на пузырьках (6.5 баллов)

В «реальной» воде происходит не только поглощение, но и рассеяние света. В этой задаче рассмотрим рассеяние на пузырьках воздуха. Пример показан на рис. 4.

Для простоты рассматриваем рассеяние на одиночном пузырьке [см. рис. 5]. Введём относительный прицельный параметр $\rho$ как отношение прицельного параметра к радиусу пузырька, угол отклонения обозначим $\psi$. Показатель преломления внутри пузырька равен $1$, снаружи – $n$.

Тогда угол отклонения запишется в виде\[\psi=2\left[\arcsin n\rho-\arcsin\rho\right],\]а интенсивность рассеянного излучения -- как\[\mathcal J(\psi)\equiv\frac{\rho~ \mathrm d\rho}{\sin\psi~\mathrm d\psi}.\]На рис. 6 приведён график зависимости $\mathcal J(\psi)$, полученный экспериментально.

Честное решение обратной задачи (определение показателя преломления жидкости $n$ по распределению $\mathcal J(\psi)$) возможно, но довольно проблематично. В качестве компромисса предлагается рассмотреть асимптотическое поведение кривой $\mathcal J(\psi)$ в «удобном» приближении.

B1  ^1.50 Получите приближённое выражение для $\mathcal J(\psi)$, считая углы $\psi$ малыми.

В таблице в листе ответов приведены экспериментальные точки для $\mathcal J(\psi)$. $\mathcal J$ приведено в условных единицах.

B2  ^5.00 Линеаризуйте полученную зависимость и найдите показатель преломления жидкости $n$.

Указание: Не обязательно использовать все точки, чтобы получить хороший результат.