A1  ^0.30 Укажите, какая из мод имеет наименьшую собственную частоту. Обоснуйте свой ответ.

Моды 1 и 3 идентичны с точностью до разности фаз, равной $\pi$ и представляют собой синфазные и противофазные колебания двух независимых осцилляторов соответственно. Поэтому частоты двух этих мод совпадают, а частота моды 2 оказывается наименьшей.

A2  ^0.90 Найдите длины волн $\lambda$ и частоты $\nu$, соответствующих локальным максимумам коэффициента поглощения.

Локальные максимумы отмечены точками на рисунке ниже.

$\lambda,~нм$	$\nu,~ТГц$	$\Delta \lambda,~нм$	$\Delta \nu,~ТГц$	$m'$	$m$
600	500	18	15	8	10
750	400	36	20	6	8
970	309	48	16	4	6
1190	252	72	16	3	5
1450	207	48	7	2	4
1940	155	36	3	1	3

A3  ^1.20 Найдите полуширину $\Delta\nu$ локальных максимумов коэффициента поглощения.

В таблице выше

A4  ^1.20 На основе полученных результатов определите кратность частот, соответствующих локальным максимумам, а также найдите основную резонансную частоту $\nu_0$ колебаний молекулы воды. Графически определите погрешность $\nu_0$.

Так как минимальная разность между ближайшими частотами $\sim 50~ТГц$, то предположим что основная частота $\nu_0 \approx 50~ТГц$. Примем кратность наименьшей частоты равной $1$. При этом кратность частот имеет вид:
\[\nu (m) = \nu_0 (m' + m_0) \]
где $m_0$ — постоянный сдвиг.

Вычислим предполагаемые кратности (в таблице выше) и построим график $\nu (m')$ и вычислим $m_0$ и $\nu_0$ из параметров фитирующей прямой.

B1  ^1.50 Получите приближённое выражение для $\mathcal J(\psi)$, считая углы $\psi$ малыми.

Для начала заметим что из малости $\psi$ следует малость $\rho$, так как
$$\cfrac{\psi}{2} = \arcsin n\rho - \arcsin \rho \approx (n-1)\rho$$
Однако данной точности разложения мало, так как при этом $\mathcal{J}(\psi)$ примерно постоянна. Раскладывая до следующего порядка
$$\cfrac{\psi}{2\rho} \approx (n-1) + \cfrac{n^3-1}{6}\rho^2$$
$$\cfrac{d\psi}{2d\rho} \approx (n-1) + \cfrac{n^3-1}{2}\rho^2$$
$$\sin \psi \approx \psi - \cfrac{\psi^3}{6}$$
$$\cfrac{1}{\mathcal{J}} \approx 4(n-1)^2 \left(1+\cfrac{n^2+n+1}{2}\rho^2\right)\left(1+ \cfrac{n^2+n+1}{6}\rho^2\right)\left(1-\cfrac{\psi^2}{6}\right) \approx \\ \approx 4(n-1)^2(1+2n\rho^2)$$
Подставляя $\rho$
$$\mathcal{J}(\psi) \approx \cfrac{1}{4(n-1)^2}\left(1-\cfrac{n\psi^2}{2(n-1)^2}\right)$$

B2  ^5.00 Линеаризуйте полученную зависимость и найдите показатель преломления жидкости $n$.

Указание: Не обязательно использовать все точки, чтобы получить хороший результат.

При попытке описать зависимость $\mathcal J(\psi^2)$ линейной функцией возникают две проблемы:

• Если брать слишком мало точек, данные оказываются зашумлены;
• Если брать много точек, зависимость перестаёт быть линейной.

В качестве подтверждения можно посмотреть на график модуля углового коэффициент зависимости $\mathcal J(\psi^2)$ от числа взятых точек:

Сразу видно, что брать меньше 25 точек бессмысленно, а при более чем 40 точках нужно учитывать нелинейность. Чтобы понять по исходным данным, в какой момент придётся учитывать нелинейность, можно заметить, что в диапазоне $\psi\in[20^\circ;30^\circ]$ у зависимости $\mathcal J(\psi)$ наблюдается излом, что невозможно получить в приближении предыдущего пункта.

Для 40 точек получим значение ($\psi$ в радианах):\[\alpha=\left.-\frac{1}{\mathcal J}\frac{\mathrm d\mathcal J}{\mathrm d(\psi^2)}\right|_{\psi=0}=2.081.\]

Из линеаризации $\mathcal{J}(\psi) = -k\psi^2 + b$ последует $\alpha \equiv \cfrac{k}{b} = \cfrac{n}{2(n-1)^2}$, откуда выражение для $n$
$$n=\cfrac{1}{4\alpha}(4\alpha + 1 + \sqrt{8\alpha - 1})\implies$$

Эта величина отличается от показателя преломления воды. Это сделано специально, чтобы участники получали ответ честно.