(Из длины нити $l = 40~ см\implies T=1.28 ~с$)
Зарядив конденсатор, проводим измерения зависимости силы напряжения от времени. Результаты измерений представлены в таблице и на графиках ниже (второй в логарифмическом масштабе).
| $t,~с$ | 0 | 5 | 10 | 16 | 22 | 28 | 35 |
| $U,~мВ$ | 1000 | 950 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 |
| $\ln U$ | 6.907755 | 6.856462 | 6.802395 | 6.745236 | 6.684612 | 6.620073 | 6.55108 |
| $t,~с$ | 42 | 50 | 59 | 69 | 80 | 92 | 105 |
| $U,~мВ$ | 650 | 600 | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 |
| $\ln U$ | 6.476972 | 6.39693 | 6.309918 | 6.214608 | 6.109248 | 5.991465 | 5.857933 |
| $t,~с$ | 121 | 140 | 162 | 192 | 234 | $-$ | $-$ |
| $U,~мВ$ | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 | $-$ | $-$ |
| $\ln U$ | 5.703782 | 5.521461 | 5.298317 | 5.010635 | 4.60517 | $-$ | $-$ |
Определенное по методу наименьших квадратов значение времени разрядки равно
\begin{equation}
\tau=(102\pm2) ~с
\tag{1}\end{equation} Сопротивление мультиметра рассчитывается по формуле
Измерения временной зависимости напряжения на конденсаторе при его разрядке через диод и катушку телефона проводятся аналогично, результаты этих измерений приведены в таблице и на графиках ниже.
| $t, ~с$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 21 | 28 | 34 |
| $U, ~мВ$ | 1000 | 950 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 |
| $\ln U$ | 6.91 | 6.86 | 6.80 | 6.75 | 6.68 | 6.62 | 6.55 |
| $\tau, ~с$ | $-$ | 94.9 | 89.9 | 93.4 | 103.9 | 97.4 | 97.8 |
| $t, ~с$ | 42 | 50 | 59 | 68 | 79 | 90 | 104 |
| $U, ~мВ$ | 650 | 600 | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 |
| $\ln U$ | 6.48 | 6.40 | 6.31 | 6.21 | 6.11 | 5.99 | 5.86 |
| $\tau, ~с$ | 103.8 | 101.8 | 98.7 | 99.7 | 98.6 | 99.5 | 100.8 |
| $t, ~с$ | 119 | 138 | 161 | 190 | 231 | $-$ | $-$ |
| $U, ~мВ$ | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 | $-$ | $-$ |
| $\ln U$ | 5.70 | 5.52 | 5.30 | 5.01 | 4.61 | $-$ | $-$ |
| $\tau, ~с$ | 101.0 | 103.6 | 101.8 | 101.0 | $-$ | $-$ | $-$ |
Сопротивление диода (следовательно, и время разряда) может не являться постоянным, а зависеть от приложенного напряжения. Поэтому следует построить зависимость времени разрядки от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость может быть рассчитана на основании уравнения $(3)$, из которого следует, что
\begin{equation}
\tau= -U\frac{\Delta t}{\Delta U} = -1\left/\frac{\mathrm d\ln U}{\mathrm dt}\right.
\tag{3}\end{equation}
Результаты измерений зависимости максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний приведены в таблице ниже.
| $A, ~мм$ | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 |
| $U_{ср},~ мB$ | 1470 | 1200 | 780 | 460 | 240 |
Полученная зависимость близка к линейной.
Схематическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени показана на рисунке. В течение промежутка времени $t_1$ (магнит проходит над катушкой) напряжение на конденсаторе возрастает от некоторого значения $U_1$ до максимального $U_{\max}$. Процесс зарядки описывается уравнением
\begin{equation}
C\frac{ \mathrm d U}{ \mathrm d t}=\frac{E-U}{R} = \frac{1}{R}\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}-\frac{U}{R}
\tag{5}\end{equation}Учитывая малость времени $t_1$ по сравнению со временем разрядки, можно записать
\begin{equation}
U_{\max}=U_1+\frac{\Phi_0}{R_0C}-\frac{U_1}{R_0C}t_1
\tag{6}\end{equation}Здесь в качестве сопротивления цепи следует брать сопротивление катушки, так как во время зарядки диод открыт, и его сопротивлением можно пренебречь. Величина
\begin{equation}
R_0C=1.4\cdot10^3 ~Ом\cdot10^{-4}~Ф=1.4\cdot10^{-1}~с
\tag{7}\end{equation} больше чем время прохождения магнита над катушкой (которое меньше, чем одна сотая периода колебаний).
За промежуток времени $t_2\approx T/2$ примерно равный половине периода колебаний конденсатор разряжается через закрытый диод. Процесс разрядки описывается уравнением
\begin{equation}
C \frac{\mathrm d U}{\mathrm d t} = -\frac{U}{R}
\tag{8}\end{equation}
из которого можно получить приближенное соотношение
\begin{equation}
U_1=U_{\max}\left(1-\frac{t_2}{RC} \right).
\tag{9}\end{equation}Из формул $(6)-(9)$ следует
\begin{equation}
U_{\max}= \frac{\Phi_0}{R_0C} \left(\frac{t_1}{R_0C} +\frac{t_2}{RC} \right)^{-1}.
\tag{10}\end{equation}Определим время прохождения магнита над катушкой (точнее над половиной катушки) из закона движения маятника. Так как размер катушки и магнита значительно меньше амплитуды колебаний, то это время оценивается формулой
\begin{equation}
t_1= \frac{\Delta l}{V_{\max}}.
\tag{11}\end{equation}где $\Delta l$ сумма диаметра магнита радиуса катушки (в наших экспериментах) $\Delta l \approx 3 ~см$, а максимальная скорость может быть найдена из закона сохранения энергии
\begin{equation}
\frac {V_{\max}^2}{2}= \frac{\omega^2A^2}{2},
\tag{12}\end{equation}
где $\omega = {2\pi}/{T}$ -- круговая частота колебаний маятника. Таким образом, мы получаем,
\begin{equation}
t_1= \frac{\Delta l}{V_{\max}} = \frac{T}{2\pi} \frac{\Delta l}{A}.
\tag{13}\end{equation}
Оценим численные значения слагаемых в формуле $(10)$
\begin{equation}
\frac{t_1}{R_0C}\approx \frac{T}{2\pi} \frac{\Delta l}{A} \frac{1}{R_0C}\approx 0.5,
\qquad
\frac{t_2}{RC}= \frac{T}{2RC} \approx 0.03.
\end{equation}Второе слагаемое более чем на порядок меньше первого, поэтому в первом приближении им можно пренебречь. В итоге максимальное напряжение на конденсаторе примерно оказывается равным среднему значению ЭДС
и пропорциональным амплитуде колебаний, что неплохо подтверждается экспериментом.
Коэффициент пропорциональности в формуле $(14)$ может быть определен из наклона графика зависимости напряжения от амплитуды колебаний и равен
\begin{equation}
K = \frac{\Delta U_{\max}}{\Delta A}= 6.4\cdot10^{-2}~ {В}/{см}.
\end{equation}Теперь с его помощью можно оценить максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке