1  ^?? Найдите зависимость температуры воздуха $T(h)$ от высоты в тропосфере.

Выразим плотность воздуха через остальные термодинамические параметры:\[\rho=\frac{\mu p}{RT}.\]Запишем условие механического равновесия атмосферы:\[\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz}=-\rho g=-\frac{p\mu g}{RT}\implies \frac{\mathrm d\ln p}{\mathrm dz}=-\frac{\mu g}{RT}.\]Учтём адиабатическое перемешивание воздуха. Перепишем уравнение Пуассона $p^{1-\gamma}T^{\gamma}=\operatorname{const}$ в дифференциальном виде как:\[(1-\gamma)~\mathrm d\ln p+\gamma~\mathrm d\ln T=0\implies \frac{\mathrm dT}{\mathrm dz}=T\frac{\mathrm d\ln T}{\mathrm dz}=-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{\mu g}{R}\implies\]

2  ^?? Найдите зависимость скорости звука $v_s(T)$ от температуры. Как качественно меняется температура в разных слоях атмосферы?

Учитывая, что в адиабатическом процессе $p=C\rho^\gamma$, где $C$ – некоторая константа. Тогда:\[v_{s}^{2}=\left({\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\rho}}\right)_{адиаб.}={\frac{\mathrm{d}(C\rho^{\gamma})}{\mathrm{d}\rho}}=\gamma C\rho^{\gamma-1}=\gamma{\frac{C\rho^{\gamma}}{\rho}}=\gamma{\frac{p}{\rho}}=\gamma\frac{RT}{\mu}\]

3  ^?? Считая границы раздела между слоями атмосферы плоскими, найдите, при каких условиях на границах возможно преломление звука, а при каких – полное внутреннее отражение. Изобразите в решении путь звуковых волн.

Отношение скоростей звука в тропосфере $/$ инверсионном слое к скорости звука в стратосфере равно:\[\frac{v_o}{v_i}=\sqrt{\frac{T_o}{T_i}}=\sqrt{\frac{263.15}{218.15}}\approx1.098.\]Таким образом, полное внутреннее отражение будет возможно, когда угол падения

4  ^?? Пренебрегая отражением звука от поверхности Земли, найдите, на каком максимальном расстоянии от источника приёмник сможет зафиксировать звук. Рассмотрите все 4 случая расположения источника и приёмника (в тропосфере либо в стратосфере).

Случай A: оба в тропосфере

Максимальное расстояние достигается, когда источник и приёмник находятся у верхней границы тропосферы, а звуковая волна проходит по касательной к поверхности Земли. Максимальное расстояние равно:

Случай B: один в тропосфере, другой в стратосфере

Максимальное расстояние достигается, когда источник и приёмник находятся на верхних границах тропосферы и стратосферы, а звуковая волна проходит по касательной к поверхности Земли. Угол преломления после перехода в стратосферу равен $\arcsin \frac{\sin(\pi/2-\sqrt{2h_1/R_E})}{1.098}\approx\arcsin{\frac{1}{1.098}}\approx 65^\circ\implies$ в стратосфере звуковая волна сможет пройти не более чем примерно $10~км\cdot\operatorname{tg}65^\circ=22~км$$\implies$

Случай C: оба в стратосфере

В этом случае возможно полное внутреннее отражение от границ стратосферы $\implies$