1  ^?? Выразите $\theta_k$ через $n$, $k$ и $i$.

Обозначим угол преломления как $r$. Закон Снеллиуса:\[\sin i=n\sin r.\]Каждое преломление увеличивает угол отклонения на $i-r$, а каждое отражение -- на $\pi-2r$, поэтому после $k$ отражений\[\theta_{k}=2(i-r)+k(\pi-2r)=k\pi+2i-2(k+1)r\implies\]

2  ^?? Найдите значения $i_k$ и $\theta_{km}$.

Условие экстремума:\[{\frac{\mathrm{d}\theta_{k}}{\mathrm{d}t}}=2-2(k+1){\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}}=0\]Из закона Снеллиуса:\[{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}}={\frac{\cos{i}}{n\cos{r}}}={\frac{\cos{i}}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}{i}}}}\implies 2-2(k+1){\frac{\cos i}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}i}}}=0\implies\]

Подставляя $i_k$ в зависимость $\theta_k(i)$, получим:

3  ^?? Найдите величины $\cfrac{\mathrm d\theta_k}{\mathrm dn}$ и $\cfrac{\mathrm d\theta_{mk}}{\mathrm dn}$.

Из результатов п. 1:\[\frac{\mathrm{d}\theta_{k}}{\mathrm{d}n}=-2(k+1)\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}n}.\]Из закона Снеллиуса:\[{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}n}}=-{\frac{\sin r}{n\cos r}}=-{\frac{\sin i}{n{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}i}}}}\implies\]

Чтобы найти $\frac{\mathrm d\theta_{mk}}{\mathrm dn}$, подставим в полученное выражение $i=i_k$:\[\left.\frac{\mathrm{d}\theta_{k}}{\mathrm{d}n}\right|_{i=i_k}=\frac{2(k+1)}{n}\sqrt{\frac{1-\frac{n^2-1}{k(k+2)}}{n^2-1+\frac{n^2-1}{k(k+2)}}}\implies\]

4  ^?? Для $k=1,2$ вычислите положения красной $\theta_{mk,r}$ и фиолетовой $\theta_{mk,v}$ полос радуги. Вычислите ширину радуги $\delta_k=|\theta_{mk,r}-\theta_{mk,v}|$. В каком порядке будут расположены её цвета? Приведите численные ответы в градусах с точностью $0.01^\circ$.

В первом случае угловой радиус радуги определяется как $\pi-\theta_1$, во втором – как $\theta_2-\pi$ $\implies$

5  ^?? Вычислите степень поляризации $P_k$ красного света радуги для $k=1,2$.

Амплитудные коэффициенты прохождения для $s$-,$p$-поляризованного света будут равны:\[t_{sk}={\frac{2\cos{i_{k}}}{\cos{i_{k}}+n\cos{r_{k}}}}\biggl|{\frac{n\cos{r_{k}}-\cos{i_{k}}}{n\cos{r_{k}}+\cos{i_{k}}}}\biggr|^{k}{\frac{2n\cos{r_{k}}}{n\cos{r_{k}}+\cos{i_{k}}}}\\t_{{pk}}={\frac{2\cos i_{k}}{n\cos i_{k}+\cos r_{k}}}{\bigg|}{\frac{\cos r_{k}-n\cos i_{k}}{\cos r_{k}+n\cos i_{k}}}\bigg|^k{\frac{2n\cos r_{k}}{\cos r_{k}+n\cos i_{k}}}.\]При $k=1$ угол падения $i_1=59.64^\circ\implies r_1=40.49^\circ\implies t_{s1}=0.2963,~t_{p1}=0.0618$. Поскольку $\cfrac{I_{s}}{I_{p}}=\cfrac{t_{s}^2}{t_{p}^2}$,

При $k=2$ угол падения $i_2=71.97^\circ\implies r_2=45.68^\circ\implies t_{s2}=0.1875,~t_{p2}=0.0625$. Подставляя, получим:

6  ^?? Качественно объясните механизм возникновения дополнительной радуги.