1  ^?? Найдите напряжённость электрического поля $\vec E_{in}$ внутри шара и его дипольный момент $\vec p$.

Если объёмная плотность дипольного момента внутри шара равна $\vec P$, то поверхностная плотность связанных зарядов на его границе равна\[\sigma(\theta)=\vec P\cdot\vec n=P\cos\theta.\]Это создаёт снаружи дополнительное электрическое поле:\[\vec {E'}_{out}=\frac{4\pi}{3}\frac{R^3}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3\left(\vec P\cdot\vec n\right)-\vec P\right].\]Учитывая граничные условия, получим дополнительное электрическое поле внутри шара:\[\vec{E'}_{in}=-\frac{1}{3\varepsilon_0}\vec P.\]Суммарное поле:\[\vec E_{in}=\vec E_0+\vec{E'}_{in}.\]Граничное условие для диэлектрика на полюсе шара даёт:\[(\varepsilon_r-1)E_{in}=\sigma(0)=P\implies\vec P=\cfrac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2}\cdot3\varepsilon_0\vec E_0\implies\]

Электрические дипольный момент равен $\vec p=\cfrac{4\pi}{3}R^3\vec P\implies$

2  ^?? Найдите равновесную плотность тока $\vec j$ в металлическом проводнике, в котором создано электрическое поле $\vec E$. Найдите проводимость металла $\sigma_0$ в этом случае.

В равновесном состоянии сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, уравновешивает силу сопротивления:\[-e\vec E-\gamma m\vec v=0\implies \vec v=-\frac{e}{\gamma m}\vec E.\]Плотность тока связана со скоростью соотношением:\[\vec j=-ne\vec v\implies\]

Поскольку проводимость $\sigma_0$ определяется как $\vec j=\sigma_0\vec E$, то:

3  ^?? Найдите комплексную проводимость металла $\sigma(\omega)$. Выразите ответ через $\omega$, $\gamma$, $\varepsilon_0$ и $\omega_p\equiv\sqrt{\cfrac{ne^2}{\varepsilon_0m}}$.

Скорость электронов имеет вид:\[v(t)=\operatorname{Re}\left(\vec v_me^{i\omega t}\right).\]Второй закон Ньютона:\[-e\vec E-\gamma m\vec v=m\dot{\vec v}\implies -e\vec E_m-\gamma m\vec v_m=i\omega m\vec v_m\implies\vec v_m=\frac{-e/m}{\gamma+i\omega}\vec E_m\implies\vec j_m=-ne\vec v_m=\frac{ne^2/m}{\gamma+i\omega}\vec E_m=\sigma(\omega)\vec E_m\implies\]

4  ^?? Найдите комплексную диэлектрическую проницаемость металла $\varepsilon_r(\omega)$. Выразите ответ через $\omega$, $\gamma$, $\varepsilon_0$ и $\omega_p=\sqrt{\cfrac{ne^2}{\varepsilon_0m}}$.

Вектор поляризации связан со смещением электронов как $\vec P=-ne\vec x\implies$\[\vec P_m=-ne\vec x_m=-\frac{ne^2}{m\omega(\omega-i\gamma)}\vec E_m=\chi\varepsilon_0\vec E_m\implies\chi=-\frac{ne^2}{m\varepsilon_0\omega(\omega-i\gamma)}=-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega-i\gamma)}.\]Диэлектрическая проницаемость:\[\varepsilon_r=1+\chi\implies\]

5  ^?? Определите амплитуду электрического поля $E_{in}(\omega)$ внутри наночастиц.

Поскольку\[\left(\vec E_{in}\right)_{m}=\frac{3}{2+\varepsilon_r}\vec E_{m},\]то\[E_{in}=|\vec E_{in}|_m=\frac{3}{|2+\varepsilon_r|}E_0=\cfrac{3}{\sqrt{\left(3-\frac{\omega_p^2}{\omega^2+\gamma^2}\right)^2+\left(\frac{\gamma}{\omega}\frac{\omega_p^2}{\omega^2+\gamma^2}\right)^2}}E_0.\]В приближении $\gamma\ll\omega$ получим:

6  ^?? Найдите резонансную частоту $\omega_r$.

7  ^?? Найдите амплитуду электрического поля $E_r$ внутри частицы в резонансе.

В резонансе выражение для диэлектрической проницаемости принимает вид:\[\varepsilon_r=-2-i\cdot3\sqrt3\cdot\frac{\gamma}{\omega_p}\implies E_r=\frac{3}{|-i\cdot3\sqrt3\cdot\gamma/\omega_p|}E_0\implies\]

8  ^?? Определите среднюю мощность тепловыделения $P_r$ в частице в резонансе.

Объёмная мощность тепловыделения:\[p_r=\overline{\vec j(t)\cdot \vec E(t)}=\frac{1}{2}|E_r|^2\cdot\operatorname{Re}\sigma=\cfrac{\varepsilon_0\omega_p^2\gamma E_r^2}{2(\gamma^2+\omega^2)}=\cfrac{\varepsilon_0\omega_p^2E_0^2}{2\gamma}.\]Полная мощность тепловыделения $P_r=\cfrac{4\pi}{3}R^3p_r\implies$