1  ^?? Сколько времени будет продолжаться движение шайбы (наматывание нити на цилиндр) в отсутствие трения?

Пусть нить отклонилась на некоторый малый угол $d \varphi$ (см. рисунок). Тогда шайба прошла путь $d S=l d \varphi$, а свободная часть нити укоротилась на $d l=R d \varphi$. Следовательно, $d S=\frac{l d l}{R}$, а путь, пройденный шайбой до столкновения с цилиндром:
$$
S=\int_{0}^{L} \frac{l d l}{R}=\frac{L^{2}}{2 R}.
$$
Поскольку трения нет, кинетическая энергия шайбы, а значит, и её скорость, останется неизменной. Поэтому искомое время
$$
t=\frac{L^{2}}{2 R v_{0}}.
$$

2  ^?? Сколько времени будет продолжаться движение шайбы при наличии трения между шайбой и плоскостью? Коэффициент трения равен $\mu$.

При наличии трения шайба движется по дуге с тангенциальным ускорением $a=-\mu g$. Двигаясь с таким ускорением, свободная шайба прошла бы путь $S_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}$. Поэтому здесь возможны два случая:
a) $S \geqslant S_{1}$ или $v_{0} \leqslant L \sqrt{\frac{\mu g}{R}}$. В этом случае шайба до цилиндра не дойдёт или соприкоснётся с ним без удара. Время её движения в этом случае
$$
t_{а}=\frac{v_{0}}{\mu g};
$$
б) $S \leqslant S_{1}$ - шайба, пройдя путь $S$, столкнётся с цилиндром или соприкоснётся с ним без удара. Время движения шайбы найдём из формулы для равноускоренного движения:
$$
S=\frac{L^{2}}{2 R}=v_{0} t-\frac{\mu g t^{2}}{2} \quad \text { или } \quad t^{2}-2 \frac{v_{0}}{\mu g} t+\frac{L^{2}}{\mu g R}=0 .
$$
Квадратное уравнение имеет корни:
$$
t_{1,2}=\frac{v_{0}}{\mu g} \pm \sqrt{\left(\frac{v_{0}}{\mu g}\right)^{2}-\frac{L^{2}}{\mu g R}}.
$$
Искомое время $t_{б}$ должно быть меньше времени $t_{а}=\frac{v_{0}}{\mu g}$, необходимого для полной остановки шайбы. Поэтому физический смысл имеет корень квадратного уравнения
$$
t_{б}=\frac{v_{0}}{\mu g}-\sqrt{\left(\frac{v_{0}}{\mu g}\right)^{2}-\frac{L^{2}}{\mu g R}}=\frac{v_{0}}{\mu g}\left(1-\sqrt{1-\frac{\mu g L^{2}}{v_{0} R}}\right).
$$
При $S=S_{1}$ времена $t_{а}$ и $t_{б}$ одинаковы.