Pho.rs: Стеклянная пластинка

A1 ^?? Нарисуйте схематически ход лучей после их преломления на изогнутой поверхности пластинки.

Требуемое построение показано на рис. 1.

Ответ:

Рис. 1

Наиболее существенными особенностями данного построения являются:

Лучи отклоняются в сторону утолщения пластинки
Угол отклонения возрастает по мере удаления от центра выемки
Луч, попадающий в центр выемки, не преломляется.

A2 ^?? Получите формулу, описывающую зависимость от угла наклона $\varphi$ угла отклонения $\gamma$ луча от первоначального направления.

Для решения данного пункта следует провести перпендикуляр к границе раздела (рис. 2). Из рисунка следует, что угол падения равен углу наклона верхней поверхности пластинки $\alpha=\varphi$. Тогда в соответствии с законом преломления угол преломления $\beta=n\varphi$. Наконец, угол отклонения луча,

Рис. 2

Ответ: $$\gamma=\beta-\alpha=(n-1)\varphi\tag{1}$$

A3 ^?? Запишите формулу зависимости отклонения луча на экране $z$ (см. рис. 2) от угла наклона $\varphi$.

Из рисунка 2, приведенного в условии задачи непосредственно следует, что смещение луча на экране определяется формулой:

Ответ: $$z=L\gamma=L(n-1)\varphi\tag{2}$$

B1 ^?? В какую точку пластинки должен попадать луч лазера, чтобы пятно на экране раздвоилось?

Ответ: Луч раздваивается, если он попадает в точку между выемками (острый выступ) на изогнутой поверхности.

B2 ^?? Нарисуйте ход лучей в этом случае.

Так как лазерный луч имеет конечную ширину, то часть его попадает на левую часть выступа и отклоняется вправо, часть луча попадает на правую часть выступа и отклоняется влево (рис. 3).

Ответ:

Рис. 3

B3 ^?? Измерьте максимально расстояние между пятнами на экране $\Delta y_{\max}$. Используя полученное значение, рассчитайте радиус выемки $R$ и ее глубину $h$.

Из рисунка следует, что максимальный угол отклонения лучей $\gamma$ определяется максимальным наклоном поверхности, который равен углу $\theta$, показанном на рис. 6 условия задачи.

Из формулы $(1)$ следует, что:$$\gamma=(n-1)\theta\tag{3}$$Тогда максимальное расстояние между пятнами на экране будет равно:$$\Delta y_{\max}=2L\gamma=2L(n-1)\theta\tag{4}$$С помощью этой формулы по измеренным значениям $\Delta y_{\max}=120~мм$, $l=11~мм$, $L=350~мм$ можно найти угол $\theta$:$$\theta=\frac{\Delta y_{\max}}{2L(n-1)}=\frac{120}{2\cdot 350\cdot 0.5}=0.34\tag{5}$$Теперь не сложно найти радиус цилиндрической поверхности (см. рис. 4):

Рис. 4

Ответ: $$R=\frac{l}{2\sin\theta}\approx16~мм\tag{6}$$

И глубину выемки:

Ответ: $$h=R(1-\cos\theta)=R-\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\approx0.98~мм\tag{7}$$

B4 ^?? Измерьте зависимость смещения луча $z$ на экране от координаты точки его падения на пластинку $x$ (см. рис. 2). Измерения проведите по всей длине пластинки. Постройте график полученной зависимости.

Результаты измерений зависимости смещения луча $z$на экране от координаты точки его падения на пластинку $x$ приведены в таблице ниже. На рис. 5 приведен график полученной зависимости.

Ответ:

$x,~мм$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$z,~мм$	-2	10	20	29	33	41	49	-49	-32	-25	-19	-9	-1

$x,~мм$	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
$z,~мм$	10	20	28	32	40	50	-47	-33	-26	-19	-10	0	10

$x,~мм$	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38
$z,~мм$	19	26	32	39	49	-48	-33	-26	-18	-11	-1	10	18

$x,~мм$	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	$-$	$-$	$-$
$z,~мм$	25	31	41	48	-52	-37	-28	-21	-13	-7	$-$	$-$	$-$

Ответ:

Рис. 5

B5 ^?? Используя полученный график, укажите, можно ли считать формы всех выемок искривленной поверхности одинаковыми, ответ обоснуйте.

Ответ: Так как наклоны и внешний вид участков графиков, соответствующих попаданию луча в разные выемки одинаковы, то приближенно можно считать, что формы всех выемок одинаковы.

B6 ^?? Получите формулу, описывающую зависимость угла отклонения луча $\gamma$ от координаты точки падения $x$.

Рассмотрим преломление луча на цилиндрической поверхности (рис. 6). В этом случае угол падения луча определяется формулой
$$\alpha=\frac{x}{R}.\tag{8}$$А угол отклонения луча $\gamma$ связан с углом преломления соотношением
$$\beta=\alpha+\gamma\tag{9}.$$Используя закон преломления света. Определим зависимость угла отклонения от координаты точки падения

Рис. 6

Ответ: $$\beta=n\alpha\implies\gamma=(n-1)\frac{x}{R}\tag{10}$$

B7 ^?? Используя результаты измерений, проведенных в пункте B4, рассчитайте радиус кривизны выемки $R$ и ее глубину $h$.

Найдем зависимость смещения луча на экране от координаты точки падения: $$z-L\gamma=(n-1)\frac{L}{R}x.\tag{11}$$Из этого выражения следует, что коэффициент наклона графика зависимости $z(x)$ описывается формулой (и не зависит от начала отсчета обеих координат): $$k=\frac{\Delta z}{\Delta x}=(n-1)\frac{L}{R}.\tag{12}$$Из графика зависимости. полученной в п. B4. следует, что среднее значение коэффициента наклона равно $K\approx 8.3$. Тогда из формулы $(12)$ следует, что радиус выемки равен

Ответ: $$R=(n-1)\frac{L}{K}=0.5\cdot\frac{350}{8.3}\approx 21~мм\tag{13}$$

Тогда глубина этой выемки

Ответ: $$h=R-\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\approx 0.73~мм\tag{14}$$

что более правдоподобно, чем было получено ранее.

C1 ^?? Проведите усреднение для зависимости $z(x)$ (п. B4) по трем центральным выемкам стеклянной пластинки.

Для усреднения необходимо сместить начала отсчета для каждой выемки, после чего проводить усреднение.

C2 ^?? Используя данные, полученные в п. C1, постройте график зависимости угла наклона изогнутой поверхности пластинки $\varphi(x)$ от координаты $x$.

Расчет угла наклона $\varphi$ проводится по формуле, следующей из формулы $(2)$:
$$\varphi=\frac{z}{L(n-1)}\tag{15}$$

$x,~мм$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$z_1,~мм$	-49	-32	-25	-19	-9	-1	10	20	28	32	40	50
$z_2,~мм$	-47	-33	-26	-19	-10	0	10	19	26	32	39	49
$z_3,~мм$	-48	-33	-26	-18	-11	-1	10	18	25	31	41	48
$\langle z\rangle,~мм$	-48.0	-32.7	-25.7	-18.7	-10.0	-0.7	10.0	19.0	26.3	31.7	40.0	49.0
$\varphi$	-0.274	-0.187	-0.147	-0.107	-0.057	-0.004	0.057	0.109	0.150	0.181	0.229	0.280
$y,~мм$	0.000	-0.274	-0.461	-0.608	-0.714	-0.771	-0.775	-0.718	-0.610	-0.459	-0.278	-0.050

Ответ:

Рис. 8. Зависимость угла наклона площадки от координаты

C3 ^?? Используя данные, полученные в п. C2, постройте профиль формы выемки. Не забудьте привести расчетные формулы!

Для расчета профиля следует принять во внимание, что изменение высоты $\Delta y$ на каждом шаге изменения $\Delta x$ можно рассчитать по очевидной формуле
$$\Delta y_i=\varphi\cdot\Delta x.\tag{16}$$

Рис. 7

Ответ:

Рис. 9. Профиль выемки

Дополнение

Профили выемки, полученные в каждой части задачи, на одном графике

C4 ^?? Укажите глубину выемки, рассчитанную этим способом.

Ответ: \[h\approx0.78~мм\]

Стеклянная пластинка

Решение