Для нахождения диаметра выданного вам капилляра соберем установку как на рисунке.
В дальнейшем всегда будем использовать желтую иглу в качестве адаптера для подсоединения капилляра. Будем оттягивать поршень шприца до тех пор, пока весь капилляр не будет занят водой. Затем измерим объем воздуха в шприце $V$. Этот объем будет равен объему воды внутри капилляра: $$V=\pi\frac{d^2_к}{4}l_к,$$ где $d_к$ – диаметр капилляра, $l_к$ – длина капилляра.
Проведем несколько измерений объема и найдем среднее значение. $$V_1=0.25~мл,~V_2=0.26~мл,~V_3=0.24~мл\implies V=(0.250\pm0.005)~мл,\\l_к=(90.0\pm0.05)~см.$$Тогда:
Погрешность рассчитана по формуле:
$$\Delta d_к=\frac{1}{2}d_к\left(\frac{\Delta V}{V}+\frac{\Delta l_к}{l_к}\right).$$После проведения этого опыта в капилляре могут остаться капельки воды, которые будут влиять на последующие измерения. Для того чтобы избавиться от них, мы должны в собранной установке заменить шприц $1~мл$ на систему «шприц на $160~мл$ – трубка – шприц на $160~мл$ с поршнем» и с помощью поршня для шприца на $160~мл$ быстро выдуть все капли.
Для нахождения динамической вязкости воздуха и диаметра серой иглы соберем установку как на рисунке.
Вначале будем производить измерения с капилляром, так как его диаметр нам известен. Если мы наденем капилляр на наконечник шприца (как показано на рисунке) и опустим первый шприц относительно второго, то жидкость будет перетекать по трубке из верхнего шприца в нижний. Тогда воздух будет выходить из нижнего шприца через капилляр. Нам известно, что при течении жидкости или газа по трубке кругового сечения для потока массы жидкости или газа применима формула Пуазейля:
$$Q=\pi\rho\frac{\Delta\rho}{8\eta l}R^4$$Рассмотрим вытекание воздуха через капилляр. Поток массы через капилляр по формуле Пуазейля равен:
$$Q_1=\frac{\pi\rho_{возд}\Delta\rho R^4_к}{8\eta_{возд}l_к}$$где $\rho_{возд}$ – плотность воздуха, $\Delta\rho$ – разность давлений на концах капилляра, $R_к={d_к}/{2}=(0.295\pm0.005)~мм$ – радиус капилляра, $\eta_{возд}$ – динамическая вязкость воздуха.
В это время такой же поток воздуха проходит внутри шприца с двумя наконечниками. Считая, что скорость подъема жидкости постоянна за интервал времени $dt$, и учитывая, что скорость движения воздуха в шприце с двумя наконечниками равна скорости подъема жидкости, для потока воздуха в шприце можно записать формулу:
$$Q_2=\pi\rho_{возд}R^2_ш\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},$$где $R_ш=(1.900\pm0.025)~см$ – радиус шприца на $160~мл$, $\mathrm dx$ – высота, на которую поднимается уровень жидкости в нижнем шприце за время $\mathrm dt$.
Будем считать, что в пределах $\mathrm dx=1~см$ скорость остается постоянной, поэтому в дальнейшем будем производить все измерения для $\mathrm dx=(1.00\pm0.05)~см.$ Выбирать значение $\mathrm dx>1~см$ не желательно, так как из-за этого увеличится время проведения эксперимента; выбирать значение $\mathrm dx<1~см$ также нежелательно, так как в результате этого возрастет погрешность измерения.
Теперь необходимо найти $\Delta p$. Разность давлений воздуха на концах капилляра равна разности давления воздуха внутри нижнего шприца и атмосферного давления. Такая же разность давлений будет между воздухом в нижнем шприце и воздухом в верхнем шприце. В то же время она равна сумме гидростатического давления и давления, создаваемого на концах трубки за счет вязкого течения воды:
$$\Delta p=\rho_{воды}gh+\Delta p'.$$Давление, создаваемое за счет вязкости воды, можно найти из формулы Пуазейля, зная динамическую вязкость воды $\eta_{воды}=1.004\cdot 10^{−3}~Па\cdot с$ (при $t=20\,^\circ\mathrm C$):
$$\Delta\rho'=\frac{8R^2_ш\eta_{воды}l_к}{R^4_к}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$$Для оценки величины этого давления достаточно провести одно измерение $\mathrm dt$ для любого подходящего значения $\mathrm dx$ и $h$. Во время всех дальнейших измерений за значение $h$ будем брать среднее между максимальной $h_1$ и минимальной $h_2$ разностью высот столба за время $\mathrm dt$. Для значения $h=50~см$ получим $\mathrm dt= 13.29~с.$ Тогда:
$$\Delta p'\approx9~Па,\qquad \rho_{воды}gh=4900~Па.$$Отсюда следует, что $\rho_{воды}gh\gg\Delta p',$ т.е. вязкостью воды можно пренебречь в данном эксперименте.
Окончательно, приравнивая потоки, получаем:
$$\frac{\pi\rho_{возд}\rho_{воды}ghR^4_к}{8\eta_{возд}l_к}=\pi\rho_{возд}R_ш^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\implies \mathrm dt=\frac{8\eta_{возд}l_кR^2_ш\mathrm dx}{\rho_{воды}9R^4_к}\frac{1}{h}.$$Заметим, что зависимость $\mathrm dt({1}/{h})$ – линейна с тангенсом угла наклона:
$$A=\frac{8\eta_{возд}l_кR^2_ш\mathrm dx}{\rho_{воды}9R^4_к}\frac{1}{h}.$$Тогда снимем зависимость $\mathrm dt(h)$, построим график зависимости $\mathrm dt(1/{h})$, найдем угловой коэффициент $A$, а затем динамическую вязкость воздуха $\eta_{возд}$ по формуле:
$$\eta_{возд}=\frac{A\rho_{воды}gR^4_к}{8l_кR^2_ш\mathrm dx}.$$Для увеличения точности измерений будем измерять $\mathrm dt$ 3 раза для каждого значения $h$
$\mathrm dt_1,~с$ $\mathrm dt_2,~с$ $\mathrm dt_3,~с$ $\mathrm dt,~с$ $\Delta \mathrm dt,~с$ $h,~см$ $1/h,~{10^{-2}}\cdot{см}^{-1}$ $\Delta({1}/{h}),~{10^{-4}}\cdot{см}^{-1}$ 13.22 14.06 12.59 13.29 0.63 50 2.0 0.8 14.28 15.00 14.75 14.68 0.41 45 2.2 1.0 16.53 16.68 16.87 16.69 0.30 40 2.5 1.3 19.06 18.81 19.56 19.14 0.42 35 2.9 1.7 21.78 23.10 23.50 22.79 0.72 30 3.3 2.2 26.62 25.16 25.69 25.82 0.63 25 4.0 3.2
Здесь и в дальнейшем погрешности рассчитаны по формулам:
$$\Delta\mathrm dt_{сл}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^3(dt-dt_i)^2}{3\cdot2}},\quad \Delta \mathrm dt_{сист}=0.2~с\implies\Delta\mathrm dt=\Delta\mathrm dt_{сл}+\Delta\mathrm dt_{сист},$$$$\Delta h=0.2~см,~~\Delta\left(\frac{1}{h}\right)=\frac{\Delta h}{h^2}.$$
Из графика:
$$A=(6.46\pm0.35)~м\cdot с.$$Окончательно для динамической вязкости воздуха получаем:
Погрешность рассчитана по формуле:
$$\Delta\eta_{возд}=\eta_{возд}\left(\frac{\Delta A}{A}+4\frac{\Delta R_к}{R_к}+\frac{\Delta l_к}{l_к}+2\frac{\Delta R_ш}{R_ш}+\frac{\Delta \mathrm dx}{\mathrm dx}\right).$$
Для нахождения диаметра иглы мы можем написать аналогичные уравнения для потоков воздуха и приравнять потоки: $$\frac{\pi\rho_{возд}\rho_{воды}ghR_и^4}{8\eta_{возд}l_и}=\pi\rho_{возд}R_ш^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},$$где $R_и$ – радиус иглы, $l_и=(1.9\pm0.5)~мм$ – длина иглы.
Преобразуем уравнение: $$\mathrm dt=\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gR_и^4}\frac{1}{h}$$Зависимость $\mathrm dt(1/{h})$ – линейна с тангенсом угла наклона: $$B=\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gR_и^4}.$$Тогда снимем зависимость $\mathrm dt(h)$, построим график $\mathrm dt(1/{h})$, найдем угловой коэффициент $B$, а затем диаметр иглы $d_и$ по формуле: $$d_и=2R_и=2\sqrt[4]{\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gB}}.$$
$\mathrm dt_1,~с$ $\mathrm dt_2,~с$ $\mathrm dt_3,~с$ $\mathrm dt,~с$ $\Delta \mathrm dt,~с$ $h,~см$ $1/h,~{10^{-2}}\cdot{см}^{-1}$ $\Delta({1}/{h}),~{10^{-4}}\cdot{см}^{-1}$ 24.47 25.40 23.88 24.58 0.64 50 2.0 0.8 26.43 27.06 26.90 26.80 0.39 45 2.2 1.0 29.16 30.56 30.44 30.05 0.65 40 2.5 1.3 34.06 33.93 35.28 34.42 0.63 35 2.9 1.7 39.28 36.87 37.00 37.72 0.98 30 3.3 2.2 46.47 45.56 48.25 46.76 0.99 25 4.0 3.2
Из графика:
$$B=(10.95\pm0.47)~м\cdot с.$$Окончательно для диаметра иглы получаем:
Погрешность рассчитана по формуле:
$$\Delta d_и=\frac{1}{4}d_и\left(\frac{\Delta\eta_{возд}}{\eta_{возд}}+\frac{\Delta l_и}{l_и}+2\frac{\Delta R_ш}{R_ш}+\frac{\Delta\mathrm dx}{\mathrm dx}+\frac{\Delta B}{B}\right).$$
Примечание
Для доказательства того, что при $\mathrm dx=1~см$ скорость можно считать постоянной, снимем зависимость $h(t)$ для капилляра и построим ее график.
$h,~см$ 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25 $t,~с$ 0 16 32 48 64 83 102 122 145 168 194
Тангенс угла наклона касательной к графику в точке $h$ – это скорость изменения разности высот при разности высот $h$. В силу того, что радиусы верхнего и нижнего шприцов одинаковые, этот тангенс также будет равен удвоенной скорости подъема уровня жидкости в шприце при разности высот $h$. Из графика видно, что экспериментальную кривую можно считать прямой на любом участке $\mathrm dx={(h_1-h_2)}/{2}=1~см$. Это означает, что для любой высоты $h$, скорость в пределе $\mathrm dx=1~см$ можно считать постоянной.
Для подтверждения того, что в данном эксперименте учитывать вязкость важно, необходимо рассчитать число Рейнольдса. Число Рейнольдса это безразмерная величина, равная отношению кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине. Из определения понятно, что при значениях числа Рейнольдса $\mathrm {Re}\gg1$ основную роль играет инерция, а при $\mathrm {Re}\ll1$ – вязкость.
$$\mathrm {Re}=\frac{K}{A}.$$Используя закон сохранения массы для воздуха, можем записать:
$$R^2_ш\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=R^2_иv_и,$$где $v_и$ – скорость воздуха внутри иглы.
Оценим плотность воздуха из уравнения Менделеева–Клапейрона ($p_a=105~кПа$, $\mu_{возд}=29~{г}/{моль}$, $T_{комн}=300~К$):
$$\rho_{возд}=\frac{p_a\mu_{возд}}{RT_{комн}}=1.22~{кг}/{м^3}.$$Тогда для числа Рейнольдса получим:
$$Re=\frac{\rho_{возд}V_иR_и^2}{16\eta l_и}=\frac{\rho_{возд}R_ш^2}{16\eta l_и}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0.056,$$Этот результат свидетельствует о том, что вязкость играет значительную роль в данном эксперименте.