Используя конденсаторы на $1~мкФ$, будем собирать батареи конденсаторов различной емкости. Батареи конденсаторов будем заряжать до напряжения батарейки $U_б=9.95 ~В$, а затем подключать к амперметру и смотреть на сколько делений $n$ отклонится стрелка амперметра.
Схема батареи конденсаторов $C,~мкФ$ $n$ \[1.0\] \[2\] \[1.5\] \[3\] \[2.0\] \[4\] \[2.5\] \[5\] \[3.0\] \[6\] \[3.5\] \[8\] \[4.0\] \[9\]
В ходе всей работы погрешность $\Delta n=0.5$.
Построим график зависимости $n(C)$:
Из графика видно, что зависимость $n(C)$ линейна, причем проходит через точку $(0,0)$. Тогда можно записать: $$n=\alpha C,$$где $\alpha$ — угловой коэффициент графика.
Из графика находим: $$\alpha=(2.36\pm0.19)\cdot10^6 ~Ф$$
Для зарядки конденсатора до нужного напряжения соберем схему, изображенную на рисунке:
Причем в качестве конденсатора будем использовать батарею конденсаторов общей емкостью $5~мкФ$. Это делается в целях уменьшения погрешности, так как отклонение стрелки пропорционально емкости, как мы выяснили в предыдущем пункте.
Зарядив конденсатор до нужного напряжения, подключаем его к амперметру и смотрим на сколько делений смещается стрелка амперметра.
Снимем зависимость $n(u)$
| $\mathbf{n}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| $\boldsymbol{u}, \mathrm{B}$ | 0 | 1.01 | 2.02 | 3.02 | 3.98 | 5.06 | 6.03 | 7.07 | 8.05 | 9.02 |
Построим график зависимости $n(u)$.
Из графика видно, что зависимость $n(u)$ линейна, причем проходит через точку ( $0 ; 0$ ). Тогда можно записать:
$$n=\beta u,$$где $\beta$ — угловой коэффициент графика.
Из графика находим:$$\beta=(1.15\pm0.05)~\mathrm{В}^{-1}.$$
Мы обнаружили, что количество делений $n$, на которое отклоняется стрелка амперметра, пропорционально емкости конденсатора при неизменном начальном напряжении на конденсатоpe, а также пропорционально напряжению на конденсаторе при неизменной емкости конденсатора.
Известно, что заряд на конденсаторе можно найти по формуле: $$q=C u.$$
Тогда можно сделать вывод, что количество делений $n$, на которое отклоняется стрелка амперметра, пропорционально начальному заряду на конденсаторе.
Измерим сопротивлением амперметра с помощью мультиметра в режиме омметра. Получим: $$R_{a}=631~\mathrm{Ом}$$
Тогда характерное время $\tau$ разрядки конденсатора емкостью $5~мкФ$ через амперметр равно: $$\tau=R_{a}C\approx 3~\mathrm{мс}.$$
Это время очень мало, поэтому мы можем утверждать, что начальный заряд на конденсаторе примерно равен заряду, протекшему через амперметр за время движения стрелки.
Для измерения сопротивления шунта соберем схему, изображенную на рисунке:
В качестве конденсатора будем использовать батарею конденсаторов емкостью $5~мкФ$. Зарядим конденсатор с помощью батарейки до фиксированного напряжения. Будем разряжать конденсатор через шунтированный амперметр, используя схему, изображенную на рисунке.
Снимем зависимость $n\left(R_{ш}\right)$:
$R_ш,~Ом$ 0 101 203 304 399 503 605 700 799 905 999 $n$ 0 1 2 3 3 4 4 5 5 5 6 $\frac{1}{\boldsymbol{R}_{\text {ш}}}, \frac{10^{-3}}{\boldsymbol{Ом}}$ $-$ 0.90 4.93 3.29 2.50 1.99 1.65 1.43 1.25 1.10 1.00 $\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{n}}$ $-$ 1.00 0.50 0.33 0.33 0.25 0.25 0.20 0.20 0.20 0.17 $\Delta \frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{n}}$ $-$ 0.500 0.125 0.056 0.056 0.031 0.031 0.020 0.020 0.020 0.014
Напряжение на амперметре в любой момент времени равно напряжению на шунте, так как они соединены параллельно. Тогда можно записать:
$$I_{0} \frac{{R_ш}{R_а}}{R_ш+R_a}=I R_a$$
где $I_{0}$ - суммарная сила тока через амперметр и шунт, $I$ — сила тока через амперметр.
Если мы проинтегрируем по времени обе части этого равенства в пределах от времени замыкания контакта до времени полной разрядки конденсатора, то мы получим связь между зарядами:
$$q_{0} \frac{R_{ш}R_{a}}{R_{ш}+R_{a}}=q R_{a}$$
где $q_{0}$ — заряд, протекший через амперметр и шунт, равный в свою очередь первоначальному заряду конденсатора, $q$ - заряд, протекший через амперметр.
Преобразуем это выражение.
$$\frac{q_{0}}{q}=\frac{R_{ш}+R_{a}}{R_{ш}}=1+\frac{R_{a}}{R_{ш}}.$$
В свою очередь $n\sim q$, как мы выяснили в предыдущем пункте. Первоначальный заряд конденсатора $q_{0}$ постоянный, так как мы заряжаем один и тот же конденсатор до фиксированного напряжения, то есть:
$$q_{0}=\operatorname{const}$$
Тогда окончательно получаем:
$$\frac{1}{n}\sim\frac{1}{R_{ш}}$$
Для подтверждения такой зависимости построим график зависимости $\frac{1}{n}\left(\frac{1}{R_{ш}}\right)$.
График является прямой, что доказывает наше предположение.
Намотаем на магнит бумагу и зафиксируем ее скотчем. Затем намотаем на эту бумагу примерно $150$ витков проволоки, причем так, чтобы наша катушка имела как можно меньшую ширину. Затем снимем катушку с магнита и отклеим от нее скотч. После этого катушка может свободно передвигаться вдоль магнита, плотно обхватывая магнит. Если мы подсоединим нашу катушку к амперметру, предварительно зачистив концы проволоки, а затем будем быстро вытаскивать из нее магнит, начиная движение от середины магнита, то стрелка амперметра будет отклоняться. Как мы выяснили, отклонение стрелки пропорционально заряду, протекшему через амперметр. Обозначим этот заряд $q$.
При вытаскивании магнита из катушки магнитный поток через катушку изменяется, за счет чего в катушке возникает ЭДС индукции $\varepsilon$, которая определяется по формуле:$$\varepsilon=-\frac{d\psi}{dt}$$
где $d\psi$ — изменение магнитного потока через катушку за малое время $dt$. В свою очередь по закону Ома ЭДС индукции равна:
$$\varepsilon=IR_{a}=\frac{dq}{dt}R_{a}$$
где $I$ - сила тока через амперметр.
Приравнивая, получаем:
$$\begin{aligned}
-\frac{d\psi}{dt}=\frac{dq}{dt} R_{a} \\
-d\psi=dqR_{a}.
\end{aligned}$$
Мы получили связь между изменением магнитного потока через катушку и протекшим через амперметр зарядом за время $dt$.
Суммирую по всем малым изменениям от момента замыкания цепи до момента протекания через амперметр всего заряда, получаем:
$$-(0-B k S)=qR_{a}$$
где $B$ — величина магнитной индукции поля магнита в середине его оси, $S$ — площадь сечения катушки, $k$ — количество витков.
Для заряда можем записать:
$$q=\gamma n$$
Из первого пункта получим:
$$\gamma_{1}=\frac{u_{6}}{\alpha}=(4.22\pm0,34)\cdot 10^{-6}\mathrm{~B}\cdot\Phi$$
Из второго пункта:
$$\gamma_{2}=\frac{\mathrm{C}}{\beta}=(4.35\pm0.19)\cdot10^{-6}\mathrm{~B}\cdot\Phi.$$
Возьмем среднее значение:
$$\gamma=(4.29\pm0.34)\cdot10^{-6}\mathrm{~B}\cdot\Phi$$
Площадь сечения катушки равна:
$$S=\frac{\pi d^{2}}{4}$$
где $d=(2.20\pm0.05)$ см — диаметр сечения катушки.
Тогда получим:
$$\begin{gathered}
Bk\frac{\pi d^{2}}{4}=\gamma n R_{a} \\
n=\frac{B \pi d^{2}}{4 \gamma R_{a}} k
\end{gathered}$$
Замечаем, что зависимость $n(k)$ линейна. Снимем зависимость $n(k)$.
$n$ 11 10 8 6 5 3 2 $k$ 150 130 110 90 70 50 30
$$n=Ak$$
где $A$ — угловой коэффициент графика.
$$A=\frac{B\pi d^{2}}{4\gamma R_{a}}$$
Построим график зависимости $n(k)$, найдем угловой коэффициент $A$ и рассчитаем значение $B$ по формуле:
$$B=\frac{4A\gamma R_{a}}{\pi d^{2}}$$
Из графика:$$A=0.079\pm0.003.$$
Тогда для величины индукции магнитного поля получаем:
$$B=(0.56\pm0.09)~\text{Тл.}$$
