A1  ^?? Снимите зависимость относительной длины $l/l_0$ резинового шнура от приложенной силы $F$ вплоть до значений $l\sim 3l_0$, где $l_0$ – длина недеформированного куска шнура.

С помощью бруска и струбцины закрепляем резиновый шнур на столе с закреплённой мерной лентой.

Растягиваем шнур, подцепив его к динамометру и, используя мерную ленту, снимаем зависимость $l(F)$ (см. таблицу) ($l$ – длина шнура в сантиметрах, $F$ – показания динамометра, $l /l_0$ – отношение длины резины к длине $l_0$ недеформированного шнура):

Эти измерения удобно проводить следующим образом: закрепляем шнур над шкалой, делаем на шнуре две отметки, расстояние между которыми равно, например, $l_0=30~см$. Подцепляем к шнуру динамометр, растягиваем шнур и измеряем расстояние $l$ между метками на резине в зависимости от показаний динамометра $F$.

A2  ^?? Выразите коэффициент жёсткости резинового шнура через модуль Юнга и его геометрические параметры.

Здесь $S=\pi d^2/4$ – поперечное сечение цилиндрического шнура.

A3  ^?? Предполагая, что модуль Юнга и объём резины в процессе деформации не изменяются, получите теоретическую зависимость $l/l_0$ от $F$.

По закону Гука для небольших деформаций:
\[\mathrm dl/l=\mathrm dF/ES\implies \mathrm dl/l^2=\mathrm dF/ESl=\mathrm dF/ EV=\mathrm dF/EV_0.\]Здесь $V=Sl=S_0 l_0=\pi d_0^2l_0/4$ – объём шнура, который, по условию, не изменяется; $l_0$, $d_0$, – длина и диаметр, а $S_0=\pi d_0^2/4$ – площадь сечения недеформированного шнура.

Интегрируем уравнение:\[ \mathrm dl / l^2=\mathrm dF/EV_0 \implies 1 / l_0-1 / l=F/EV_0 \implies l /l_0=1/\left(1-F/ES_0\right)\] – зависимость $l(F)$ при условии, что модуль Юнга $E$ и объём $V$ резины при деформации не изменятся.

Линеаризованный график зависимости $l(F)$:

Модуль Юнга:

A4  ^?? Сравните экспериментальную зависимость с теоретической, полученной в A3.

В координатах ($F, l_0/l$) график теоретической зависимости $l(F)$ имеет вид прямой линии $l_0/l=1-\beta F$, тангенс угла наклона которой $\beta=1/ES_0$.

Для сравнения теории с экспериментом, используя данные таблицы, строим график линеаризованной зависимости $l(F)$, откладывая по оси ${Oy}$ значения $l_0/l$, а по оси ${Ox}$ – показания динамометра $F$.

Вплоть до значений $l_0/l \sim 0.4-0.5$ график этой зависимости хорошо экстраполируется прямой линией с тангенсом угла наклона:
\[\beta=\Delta\left(l_0/l\right) / \Delta F=-0.18~Н^{-1}\]

A5  ^?? До каких значений $l/l_0$ модуль Юнга можно считать константой?

Поскольку теоретическая зависимость $l(F)$ была получена в предположении $E=\operatorname{const}$, то естественно предположить, что отклонение от теоретической зависимости при больших деформациях связано с тем, что модуль Юнга при больших напряжениях начинает зависеть от самой деформации, т.е. перестаёт быть величиной постоянной. Как видно из рисунка заметное отклонение экспериментальных точек от линеаризованного графика $l(F)$ наблюдается при длинах шнура $l> 2.5~l_0$.

A6  ^?? Рассчитайте модуль Юнга $E$ резины.

Экспериментальное значение модуля Юнга определяем по углу наклона $|\beta|=1 ES_0=0.182~Н^{-1}$ экстраполированного прямой $l_0/l=1-\beta F$ линеаризованного графика зависимости $l(F)$:
\[E=1/|\beta|S_0=4/|\beta|\pi d_0^2=112~Н/см^2=1.12~МПа.\]

A7  ^?? Найдите теоретическое значение коэффициента Пуассона $\mu$, при котором объём резинового шнура при деформациях не изменяется.

Для шнура цилиндрической формы длиной $l$ и диаметром $d$ объём:
\[V=1/4ld^{2} \implies d^{2}=4 V /l.\]Возьмём «логарифмическую производную» последнего выражения, т.е. прологарифмируем обе его части и найдём их дифференциалы, считая ${V}=\operatorname {const}$. Получим:
\[2 \Delta d/d=-\Delta l/ l \implies \Delta d/d=-1/2 \Delta l/ l \implies\]

При таком значении коэффициента Пуассона объём материала при его деформациях не изменяется.

A8  ^?? Определите экспериментально коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлен резиновый бинт.

Найдём теоретическую зависимость ширины ленты $b/b_{0}$ от длины $l/l_{0}$ при её растяжении.

Эта зависимость получается из дифференциального уравнения, определяющего коэффициент Пуассона:
\[\mathrm db/b=-\mu \,\mathrm dl/l\implies b/b_{0}=\left(l/l_{0}\right)^{-\mu}\]

$l,~мм$	155 $(l_0)$	180	200	220	238	270	292	307
$b,~мм$	50 $(b_0)$	47.5	45.5	44.0	43.0	41.0	40.0	39.0
$\ln b$	33298	31472	30011	28550	27820	25993	25263	24167
$\ln l$	45387	43586	45356	14366	17288	45448	24593	26785

Для определения коэффициента Пуассона построим график зависимости $b (l)$ в двойном логарифмическом масштабе. В таком масштабе эта зависимость представляет собой прямую линию, с тангенсом угла $\alpha$ наклона, равным коэффициенту Пуассона $\mu=-\operatorname{tg} \alpha$:\[\ln {b}={C}-\mu \ln l.\]Линеаризованный график зависимости ${b}(l)$ строим, используя данные таблицы:

График хорошо экстраполируется прямой $y=5.72-0.36{x}$. Коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлена лента: