Удельное электросопротивление $\rho$ можно определить по скорости уменьшения заряда уединённого шарика с течением времени. Заряд шара (см. теорию ниже) уменьшается по экспоненте $q=q_{0} e^{-{t}/{\tau}}$, где время релаксации $\tau=\rho \varepsilon_{0}$.
Теория
Заряд уединённого заряженного шарика, подвешенного на тонкой нити в воздухе, с течением времени уменьшается. Это связано с конечной величиной удельного сопротивления воздуха $\rho$. По закону Ома в дифференциальной форме плотность электрического тока пропорциональна напряжённости $\vec E$ электрического поля шарика:
$$\vec j=\frac{1}{\rho} \vec E.$$Величину полного тока $I$, определяющего скорость изменения заряда шарика $q$, находим интегрированием по замкнутой поверхности, охватывающей шарик. Используя теорему Гаусса для потока вектора $\vec E$ через замкнутую поверхность, получаем (диэлектрическую проницаемость воздуха считаем равной единице $\varepsilon \approx 1$):
$$I=\int \vec j \cdot \mathrm d \vec S=\frac{1}{\rho} \int\vec E \cdot \mathrm d \vec S=\frac{q}{\rho \varepsilon_{0}}.$$Скорость изменения заряда шарика:
$$\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t}=-I=-\frac{q}{\rho \varepsilon_{0}}.$$Решая уравнение, находим, что с течением времени заряд шарика изменяется по экспоненциальному закону:
$$q=q_{0} e^{-{t}/{\tau}},$$где $q_{0}$ – начальный заряд шарика, $\tau=\varepsilon_{0} \rho$ – характерное время, за которое заряд шарика уменьшается в $e$ раз (время релаксации).
Эксперимент
Методика
Подвешиваем теннисные шарики на штативе так, чтобы расстояние между нитями равнялось диаметру шарика $d_{0}=2R=40~мм$. Длина нитей $l=130~см$. Незаряженные шарики при этом слегка соприкасаются (рис. 1). На высоте $\sim 20~см$ от шариков подвешиваем линейку в горизонтальном положении.
Калибровка
Заряжаем шарики с помощью пластмассовой палочки, наэлектризованной трением о полиэтиленовый пакет. Измеряем расстояние между нитями на высоте линейки: $d_{1}\approx75~мм$ (рис. 2). Разряжаем один из шариков, коснувшись его рукой. После соприкосновения между собой шарики расходятся так, что расстояние между нитями на уровне линейки оказывается равным $d_{2}\approx48~мм$. Заряды шариков при этом уменьшаются вдвое. Калибровка проведена. Вновь заряжаем шарики так, что расстояние между нитями, отсчитанное по линейке, вновь становится равным $d_{1}=75~мм$. С помощью секундомера измеряем время $T_{1 / 2}$, за которое расстояние между нитями уменьшается до $d_{2}=48~мм$. Это время соответствует уменьшению заряда вдвое.
Измерения
$$T_{1/2} \approx 14 ~{мин}=840~с \implies \ln 2=\frac{T_{1/2}}{\tau} \implies \tau=\rho \varepsilon_{0}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2} \rightarrow \rho=\frac{T_{1/2}}{\varepsilon_{0} \ln 2}$$Подставив измеренное значение $T_{1/2}$, получим: