1  ^?? Поршень передвигается медленно (квазистатически), так что в каждый момент времени вся система находится в тепловом равновесии с окружающей средой.

В обоих случаях конечная температура воздуха в баллоне равна $T_{0}$.

Рассмотрим случай квазистатического перемещения поршня. Температура газа в каждый момент равна температуре окружающего воздуха, следовательно, $p V=p_{0} V_{1}$. Происходит сжатие газа от начального объема $V_{1}=k V_{0}$ до объема $V_{0}$. Поскольку внутренняя энергия газа не меняется, по первому закону термодинамики количество теплоты $Q_{1}$, полученное газом, равно
$$
Q_{1}=\Delta A_{1}=\int_{V_{1}}^{V_{0}} p d V=p_{0} V_{1} \int_{V_{1}}^{V_{0}} \frac{d V}{V}=p_{0} V_{1} \ln \frac{V_{0}}{V_{1}}=-p_{0} V_{1} \ln k.
$$
Окружающей среде передается количество теплоты
$$
Q=-Q_{1}=k p_{0} V_{0} \ln k=5.44 \cdot 10^{4}~Дж.
$$

2  ^?? Поршень передвигается достаточно быстро, так что за время его перемещения можно пренебречь теплообменом с окружающей средой, но воздух внутри системы в каждый момент времени находится в равновесном состоянии. После завершения процесса перекачки температура воздуха в баллоне постепенно сравнивается с температурой окружающего воздуха.

Теперь рассмотрим случай быстрого перемещения поршня. По условию задачи теплообменом с окружающей средой можно пренебречь, поэтому происходит адиабатическое сжатие газа. Для двухатомного газа $C_{V}=\frac{5}{2} R$, $\gamma=\frac{7}{5}=1.4$. Обозначим за $T_{2}$ температуру газа в конце адиабатического процесса. Из уравнения адиабаты:
$$
p V^{\gamma}=\mathrm{const}, \quad \text { или } \quad T V^{\gamma-1}=\mathrm{const},
$$
получаем
$$
T_{2}=T_{0} \frac{V_{1}}{V_{0}}^{\gamma-1}=T_{0} k^{\gamma-1}.
$$
По окончании сжатия газ медленно остывает от температуры $T_{2}$ до температуры $T_{0}$, тепло передается окружающей среде только на этом этапе. Работа газа при этом равна нулю, следовательно:
$$
Q_{1}=\Delta U=\left(\nu C_{V} T_{0}-\nu C_{V} T_{2}\right)=\frac{5}{2} \nu R\left(T_{0}-T_{2}\right).
$$
Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона: $\nu R T_{0}=p_{0} V_{1}$ и соотношением для $T_{2}$, получаем, что окружающей среде передается
$$
Q=-Q_{1}=\frac{5}{2} p_{0} V_{0} k\left(k^{\gamma-1}-1\right)=6.69 \cdot 10^{4}~Дж
$$
теплоты.