A1  ^?? Используя первый закон термодинамики, найдите выражение для $Q_1$ (см. рис. 2) через

• $L$ – удельная теплота испарения,
• $\Delta q$ – масса влаги захваченной воздушной массы $\Delta m$ на пути от $A$ к $B$
• $P_A$ и $P_B$ – давление в т. $A$ и т. $B$ соответственно.

Используйте универсальную газовую постоянную $R$, температуру $T_1$ поверхности моря, молярную массу $M$ воздуха.

Сухой воздух изотермически расширяется и для этого забирает тепло у океана $Q_{1}^{(a)}$
\[ dQ_{1}^{(a)} = \underbrace{C_V dT}_{=0} + P dV = -\nu R T \frac{dP}{P} \quad \Rightarrow \quad Q_{1}^{(a)} = -\frac{\Delta m}{M} R T_1 \ln \frac{P_B}{P_A}\]Также тепло $Q_1^{(v)} = L \Delta q$ требуется для испарения паров, унесенных воздушной массой.

Будем пренебрегать теплом, которое требуется для изотермического расширения паров, поэтому $Q_1 \simeq Q_1^{(a)} + Q_1^{(v)}$

A2  ^?? Найдите полную работу, произведенную за один цикл Карно тепловой машиной над массой воздуха $\Delta m$.

В тропосфере выделяется тепло
\[ Q_2=L\Delta q + \frac{\Delta m}{M}RT_2 \ln \frac{P_A}{P_B}\]и
\[ A = Q_1 - Q_2 = \frac{\Delta m}{M}R(T_1 - T_2) \ln \frac{P_A}{P_B}\]

A3  ^?? Предполагая, что работа, произведенная тепловой машиной, полностью идет на увеличение кинетической энергии воздушной массы, получите выражение для скорости $v_B$ воздуха в центральной части циклона («глаз» циклона).

\[A=\frac{\Delta m v_B^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v_B = \sqrt{\frac{2R(T_1-T_2)}{M} \ln \frac{P_A}{P_B} }\]

A4  ^?? Полагая $v_A = 0$, найдите численное значение $v_B$, используя следующие данные: $T_1=273~\text{К}$, $T_2=213~\text{К}$, $R=8.31~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$, относительная влажность воздуха в т. $B$ $\varphi=75\%$, при $T = T_1$ давление насыщенных паров $P_Н = 42~\text{мбар}$, $P_A = 1000~\text{мбар}$, $P_B = 950~\text{мбар}$, средняя молярная масса воздуха $M = 29 \cdot 10^{-3}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}$, молярная масса воды $M_\text{в}=18 \cdot 10^{-3}~\text{кг}\cdot\text{моль}^{-1}$, удельная теплота испарения воды $L = 2.26 \cdot 10^6~\text{Дж}\cdot\text{кг}^{-1}$, плотность сухого воздуха $\rho=1.3~\text{кг}/\text{м}^3$ ($1~\text{бар} = 10^5~\text{Па}$).

A5  ^?? Полагая, что азимутальная скорость $v$ и радиальное расстояние $r$ от центра циклона связаны соотношением $v\sqrt{r} = \text{const}$, и что скорость $v_A$ на внешнем крае циклона равна $10~\text{м}/\text{с}$, вычислите эффективный радиус циклона (примите $r_B = 10~\text{км}$).