Пусть $\rho$ - линейная плотность каната (кг/м), $l$ - длина каната, $l_{1}$ и $l_{2}$ - длины его вертикальных кусков в некоторый момент времени, $T_{1}$ и $T_{2}$ - силы натяжения каната в точках $B$ и $C$ трубы, $F$ - вертикальная составляющая силы, действующей на канат со стороны трубы (см. рисунок).
Запишем второй закон Ньютона для вертикальных кусков каната:
$$
\rho l_{1} a=\rho l_{1} g-T_{1}, \quad \rho l_{2} a=T_{2}-\rho l_{2} g.
$$
По условию можно пренебречь длиной куска каната, находящегося внутри участка $B C$ трубы, по сравнению с длиной вертикальных кусков, то есть считать $l_{1}+l_{2}=l$. Кроме того, различие между $T_{1}$ и $T_{2}$ связано с касательным ускорением $a$ этого короткого (значит, лёгкого) куска, поэтому примем $T_{1}=T_{2}=T$. Решая систему выше, получаем
$$
a=g \frac{l_{1}-l_{2}}{l_{1}+l_{2}}=2 k g, \quad T=2 \rho g \frac{l_{1} l_{2}}{l_{1}+l_{2}}=\frac{1}{2} \rho l g\left(1-4 k^{2}\right),
$$
где использовано
$$
l_{1}-l_{2}=2 k l, \quad l_{1}=\left(\frac{1}{2}+k\right) l, \quad l_{2}=\left(\frac{1}{2}-k\right) l.
$$
Кусок каната, находящийся внутри участка $B C$ трубы, движется по окружности под действием сил натяжения и реакции трубы. Результирующей силой, вызывающей движение по окружности, пренебрегать нельзя, так как при заданной в данный момент скорости $v$ каната центростремительное ускорение возрастает с уменьшением диаметра полуокружности $B C$.
Вместо трудоёмкого суммирования сил в каждой точке участка $B C$ применим метод малых перемещений: за малое время $\Delta t$ кусок каната, находящийся внутри участка $B C$ трубы, сместится на $\Delta l=v \Delta t$, что эквивалентно переносу кусочка каната длиной $\Delta l$ из точки $C$ в точку $B$ с изменением знака его скорости. Изменение импульса вызвано импульсом результирующей силы:
$$
\Delta p=2(\rho \Delta l) v=(2 T-F) \Delta t,
$$
откуда
$$
F=2 T-2 \rho v^{2}.
$$
Скорость $v$ найдём из закона сохранения энергии:
$$
\frac{\rho l v^{2}}{2}=E_{кин}=-\Delta E_{пот}=(\rho k l) g(k l),
$$
откуда
$$
2 \rho v^{2}=4 \rho l g k^{2}.
$$
Подставляя полученное выражение в уравнение для $F$, находим $F=\rho l g\left(1-8 k^{2}\right)$. В искомый момент $F=0$, откуда $k=1 /(2 \sqrt{2})$, $a=g / \sqrt{2}$.