Условие постоянства массы имеет вид
$$\left(\rho_{0}+\Delta \rho\right)\left(V_{0}+\Delta V\right)=\rho_{0} V_{0} \tag{1}$$Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной $\Delta \rho \Delta V$, получаем требуемое соотношение:

Так масса ареометра постоянна, то постоянна и сила Архимеда, т.е.
$$\left(\rho_{0}+\Delta \rho\right)\left(V_{0}+\Delta V\right)=\rho_{0} V_{0} \tag{3}$$где $V_{0}$ – объем вытесненной воды, т.е. объем ареометра. $\Delta V=-s\Delta h=-\dfrac{\pi d^{2}}{4} \Delta h$ изменение объема вытесненной воды при всплытии на высоту $\Delta h$. Из условия $(3)$ следует, что$$\frac{\Delta \rho}{\rho_{0}} \approx-\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{\pi d^{2}}{4 V_{0}} \Delta h \implies$$

Что соответствует приведенной в условии формуле.

Тепловым расширением ареометра (шарика и гайки) пренебрегите.

Из предыдущей формулы следует, что:

Данные измерений в таблице и на графике

Коэффициент наклона графика $\dfrac{\Delta h}{\Delta t} \approx 2.2~ \dfrac{мм}{К}$.

Коэффициент теплового расширения воды связан с этой величиной соотношением $$\Delta h=K \frac{\Delta \rho}{\rho_{0}} \Rightarrow \beta=\frac{\Delta \rho}{\rho_{0} \Delta t}=\frac{1}{K} \frac{\Delta h}{\Delta t}$$Его численное значение