1  ^?? Магнитное поле исчезает за малое время, в течение которого шарик смещается на расстояние, значительно меньшее $R_{0}$.

Разобьём время выключения поля на сколь угодно малые интервалы времени. Пусть магнитный поток через поперечное сечение соленоида за один из таких интервалов длительностью $\Delta t$ изменился на $\Delta \Phi$. Тогда напряжённость вихревого электростатического поля в точке $A$ направлена вдоль трубки и равна
$$
E=-\frac{\Delta \Phi}{2 \pi R_{0} \Delta t}.
$$
Сила, действующая на шарик, $F=q E$. Поскольку $F \Delta t=m \Delta v$, где $\Delta v$ - изменение скорости, то
$$
-\frac{q}{2 \pi R_{0}} \Delta \Phi=m \Delta v.
$$
Суммирование в левой и правой частях этого уравнения за всё время включения поля даёт:
$$
-\frac{q}{2 \pi R_{0}} \sum \Delta \Phi=m \sum \Delta v.
$$
У нас
$$
\sum \Delta \Phi=0-B_{0} \pi r^{2}=-B_{0} \pi r^{2}, \quad \sum \Delta v=v_{1}.
$$
Шарик вылетает из трубки со скоростью, равной скорости $v_{1}$, полученной в точке $A$ :
$$
v_{1}=\frac{r^{2} q B_{0}}{2 m R_{0}}.
$$

2  ^?? Индукция магнитного поля уменьшается с постоянной скоростью $d B / d t=-k<0$ в течение всего времени движения шарика по трубке.

Направим ось $O x$ вдоль трубки (см. рисунок).

Пусть в произвольный момент времени при движении шарик находится в точке $C$ на расстоянии $R$ от оси соленоида, имеет скорость $v$ и его положение $x$ характеризуется углом $\beta$. Напряжённость вихревого электрического поля в точке $C$
$$
E=\frac{\pi r^{2}|d B / d t|}{2 \pi R}=\frac{k r^{2}}{2 R}.
$$
На шарик действует сила $F=q E$, её проекция на ось $O x$ : $F_{x}=F \cos \beta$. За малое время $\Delta t$ шарик переместится на расстояние $C D=v \Delta t$, получив приращение скорости $\Delta v$, причём $F_{x} \Delta t=m \Delta v$. Имеем с учётом выражений для $F_{x}$, $F$ и $E$ :
$$
\frac{k r^{2} q \Delta t}{2 R} \cos \beta=m \Delta v.
$$
По теореме синусов для треугольника $O C D$ :
$$
v \Delta t \approx \frac{R \Delta \beta}{\sin \left(90^{\circ}-\beta\right)}.
$$
Отсюда $\Delta t \cos \beta / R=\Delta \beta / v$. С учётом последнего соотношения равенство принимает вид
$$
k r^{2} q \Delta \beta=2 m v \Delta v.
$$
Поскольку $2 v \Delta v=\Delta\left(v^{2}\right)$, то $k r^{2} q \Delta \beta=m \Delta\left(v^{2}\right)$. Получаем
$$
\sum \Delta \beta=\frac{\pi}{3}-0=\frac{\pi}{3}, \quad \sum \Delta\left(v^{2}\right)=v_{2}^{2}-0=v_{2}^{2}.
$$
Шарик вылетит из трубки со скоростью
$$
v_{2}=\sqrt{\frac{\pi k r^{2} q}{3 m}} .
$$