A1  ^?? Приподнимите пучок 10 зубочисток в вертикальном положении на высоту $20-25$ см над расчерченным листом бумаги и отпустите. Зубочистки после падения случайным образом распределятся по листу бумаги (см. фото). Подсчитайте число $n$ зубочисток, пересекающих линии (на рисунке таких пересечений $n=6$). Повторите эти испытания не менее $N=30$ раз (имейте в виду, что, чем больше испытаний $N$ вы проведёте, тем больше будет точность результатов).

Проводим $N=40$ измерений, результаты заносим в таблицу.

A2  ^?? Постройте график, откладывая по оси абсцисс значение измеренной случайной величины $n$, а по оси ординат – долю случаев (частоту) $w(n)=m_{n} / N,$ в которых встречается это значение случайной величины (здесь $m_{n}$ – число измерений, в которых измеренное значение оказалось равным $n$). При большом числе $N$ измерений $w(n)$ является мерой вероятности, с которой случайная величина принимает значение $n$. Зависимость $w(n)$ представляет собой закон распределения случайной величины $n$.

Пояснение. Лучше всего этот график представить в виде гистограммы – совокупности вертикально стоящих прямоугольников: ширина прямоугольника равна единице, а высота – $w(n)$. Например, прямоугольник высотой $w(2)$, расположенный между 1.5 и 2.5 (по оси абсцисс) характеризует случаи, в которых случайная величина принимает значение, равное 2; а прямоугольник высотой $w(3)$, расположенный между 2.5 и 35 – случаи с $n=3$ и т.д.

Вычисляем долю случаев $w(n)$ и величину $n^{2}$ для всех значений величины $n$.

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^2$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
$m_n$	0	0	1	0	6	5	8	10	7	2	1
$w_n$	0	0	0.025	0	0.15	0.125	0.2	0.25	0.175	0.05	0.025

По полученным значениям строим гистограмму.

A3  ^?? Определите среднее значение $n_{ср}$ случайной величины.

Вычисляем среднее значение случайной величины:
$$n_{ср}=\frac{\sum_{i=1}^{10} n_{i} m_{n}}{N}=\frac{253}{40} \approx 6.33.$$

A4  ^?? Оцените среднеквадратичную погрешность $\sigma$ средней величины $n_{ср}$. Запишите результат эксперимента в виде:
$$n=n_{ср} \pm \sigma$$Среднеквадратичную погрешность для большого числа измерений $N$ можно вычислить по формуле:
$$\sigma=\sqrt{\frac{\left(n^{2}\right)_{ср}-n_{ср}^{2}}{N}}$$

Определяем среднее значение квадрата случайной величины:
$$\left(n^{2}\right)_{ср}=\frac{\sum_{i=1}^{10} n_{i}^{2} m_{n}}{N}=\frac{1713}{40} \approx 42.83$$Затем вычисляем среднеквадратичную погрешность, используя формулу, данную в условии задачи. Получаем результат:
$$\sigma=\sqrt{\frac{\left(n^{2}\right)_{ср}-n_{ср}^{2}}{N}} \approx 0.27$$Получаем окончательный ответ для значения случайной величины:

A5  ^?? Найдите экспериментальное значение вероятности $w_{экс}$ того, что зубочистка пересекает линию.

Экспериментальное значение вероятности пересечения линии равно отношению среднего количества пересечений к максимально возможному количеству пересечений, которое в каждом измерении равно числу всех зубочисток:$$w_{экс}=\frac{n_{ср}}{10}=\frac{6.33}{10}=0.633.$$

A6  ^?? Рассчитайте теоретическое значение вероятности $w_{теор}$ того, что зубочистка пересекает линию.

А вероятность того, что зубочистка будет расположена к линиям под углом $\varphi$ в интервале $\mathrm d \varphi$ равна:
$$w(\mathrm d \varphi)=\frac{\mathrm d \varphi}{2 \pi}$$Тогда вероятность пересечения линии зубочисткой, находящейся под углом $\varphi$ в интервале $\mathrm d \varphi$, равна:
$$\mathrm d w=\frac{\sin \varphi \,\mathrm d \varphi}{2 \pi}.$$Таким образом, вероятность пересечения зубочистки с линией:$$w_{теор}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{|\sin \varphi|}{2 \pi} d \varphi=\frac{2}{\pi} \tag{1}$$

A7  ^?? Используя результаты измерений, рассчитайте число $\pi$ и среднеквадратичную погрешность найденного значения $\sigma_{\pi}$. Результат запишите в виде:
$$\pi=\pi_{ср} \pm \sigma_{\pi}.$$

Считая, что $w_{теор}=w_{экс}$, определим значения числа $\pi$ по формуле:
$$\pi_{ср}=\frac{2}{w_{экс}}=\frac{2}{0.633} \approx 3.16.$$Погрешность оценим по формуле:
$$\sigma_{\pi}=\pi_{ср} \frac{\sigma}{n_{ср}} \approx 0.13.$$Окончательный ответ:

Дополнение