Носителями заряда в полупроводниках являются электроны ($n$ от анг. negative с зарядом $-e$) и дырки ($p$ от анг. positive с зарядом $e$), хаотические термическое движение которых немного искажается внешними полями. Элементарный заряд $e=1.60 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$. Для описания процессов переноса вводится подвижность носителя $\mu$ задающая зависимость его средней скорости $v$ от приложенного внешнего электрического поля $\mathcal{E}$:
\[ |v| = \mu |\mathcal{E}|.\]
Подвижность зависит от температуры и концентрации дефектов в кристаллической решетке. При этом объемная концентрация электронов $n$  (размерность $1/\text{м}^3$) и объемная концентрация дырок $p$ (размерность $1/\text{м}^3$) при в условиях термодинамического равновесия cвязаны друг с другом соотношением $np = n_i^2$, где $n_i$ - концентрация носителей обоих типов в полупроводнике без примесей.

Если в полупроводящем образце есть пространственная неоднородность в распределении носителей заряда, то в нем наряду с токами проводимости текут диффузионные токи с соответствующими объемными плотностями:
\[j_{Dp} = - eD_p \frac{dp}{dx}, \quad j_{Dn} = eD_n \frac{dn}{dx}.\]
Причем из соотношения Эйнштейна $D = \mu k_\text{B} T/e$, поэтому полная плотность тока внутри полупроводника
\[ j = \mu_p \left[ \mathcal{E} e p - k_\text{B} T \frac{dp}{dx} \right]  + \mu_n \left[ \mathcal{E} e n + k_\text{B} T \frac{dn}{dx} \right]. \tag{1}\]

Обозначим $\mu_p/ \mu_n=\alpha$, для кремния эту величину будем считать равной $3.1$ и не зависящей от примесей. Концентрацию примесей-доноров, увеличивающих количество электронов назовем $N_D$ а концентрацию примесей-акцепторов, увеличивающих количество дырок назовем $N_A$.

Будем рассматривать одномерную задачу, для неоднородно допированого кремния (так называют кремний с примесями) при температуре $T=300~\text{К}$, тогда $n_i=1.1 \cdot 10^{10}~\text{см}^{-3}$.

• В области $x<0$ создан p-кремний с $N_A = N_p \gg n_i$, $N_D=0$ .
• В области $x>0$ создан n-кремний с $N_D = N_n \gg n_i$, $N_A=0$.

Также будем считать все рассматриваемые процессы стационарными, т.е. заряд нигде не накапливается и поэтому $dj/dx=0$. Электрический потенциал будем обозначать буквой $\varphi$. Для обезразмеривания уравнений работать в терминах относительных концентрации $u=p/n_i$, $v=n/n_i$. Диэлектрическая проницаемость полупроводника равна $\varepsilon$.

Часть А. Равновесие в PN переходе

Для начала рассмотрим равновесный PN переход, через который не течет электрический ток, и поэтому в каждой его точке дырки и электроны находятся в термодинамическом равновесии т.е. $v=1/u$.

A1 Подставьте $j=0$ и $v=1/u$ в уравнение $(1)$ и получите связь между $\varphi'$, $u'$ и $u$.

A2 Проинтегрируйте уравнение, полученное в пункте A1 и найдите разность потенциалов $V_{bi}=\varphi(+\infty) - \varphi(-\infty)$ электрического поля на pn-переходе. Ответ выразите через $N_p$, $N_n$, $n_i$

A3 Запишите теорему Гаусса и выразите $\varphi''$ через $u$ и $N_D-N_A$. Получите дифференциальное уравнение для $\Psi$, где $\Psi = \ln u$ в виде \[L^2 \Psi'' = 2 \sinh \Psi - \frac{N_A-N_D}{n_i} \tag{2}\]

Мы получили нелинейное дифференциальное уравнение на $\Psi$ и будем решать его численно. Для задания начальных условий рассмотрим поведение $\Psi$ вдали от pn перехода, где $\Psi = \operatorname{asinh} \frac{N_A-N_D}{2n_i} + \delta \Psi$ и $|\delta \Psi| \ll |\Psi|$.

A4 Найдите аналитический вид решения для $\delta \Psi$ в областях, далеких от pn перехода.

A5 Найдите аналитический вид решения для $\Psi$ в области, где $n_i|2 \sinh \Psi| \ll |N_A - N_D|$.

A6 Для $N_p=2 \cdot 10^5$, $N_n=10^5$ решите уравнение (2) численно с помощью программы pn-junction1.py.

Часть B. Ёмкость pn перехода

Внутри pn перехода существует область, где $p,n \ll N_p, N_n$. Для получения аналитического результата будем считать, что плотность заряда $\rho=e(p - N_A - n + N_D)$ имеет вид, как на графике ниже. То есть

• в области $x<-x_p$ мы имеем равновесный p-кремний с $p=N_p$;
• в области $-x_p < x < x_n$ мы имеем $N_p, N_n \gg p ,n$;
• в области $x>x_n$ мы имеем равновесный n-кремний с $n=N_n$.

B1 Получите зависимости электрического поля $\mathcal{E}(x)$ в выбранной модели и нарисуйте ее график. Какое соотношение между $x_p$, $x_n$, $N_p$ и $N_n$ должно выполняться, чтобы поле $\mathcal{E}$ обнулялось на границах $-x_p$ и $x_n$ и было непрерывным в точке $x=0$?

Если мы подключаем pn-переход к источнику с напряжением $U$ (плюс к $p$ и минус к $n$) и бесконечным внутренним сопротивлением, то разность потенциалов между на pn переходе становится равной $V_{bi} - U$. Ёмкость системы $C$ определяется, как $C=dQ/dU$, где $dQ$ - изменение заряда с каждой из сторон pn-перехода (они идут с разным знаком). Если работать в нашей модели, то при подаче напряжения $U$ уменьшается размер области пространственного распределения заряда с $[-x_p,x_n]$ до $[-x_p',x_n']$. В частности при подаче напряжения $U$ незначительно меняется значение $u$ (относительная концентрация дырок) в окрестности самого перехода, поэтому эти изменения не влияют на вид распределения зарядов и полей.

B2 Выразите $x_p'$ через $x_p$, $V_{bi}$ и $U$. Подставьте $dQ = -eSN_A dx_p'$, где $S$ - площадь pn-перехода, в выражение для ёмкости $C$ и найдите зависимость $C(U)$. Выразите зависимость $C(U)$ в терминах $S$, $N_{n,p}$.

Таким образом pn-переход можно использовать как конденсатор, ёмкость которого зависит от приложенного напряжения - такие приборы называются варикапы.

Часть С. ВАХ pn перехода.

При подключении внешнего напряжения картина распределения зарядов качественным образом меняется только у краев pn перехода, где значительным образом меняется концентрация неосновных носителей (то есть электронов в p-кремнии и дырок в n-кремнии). В области $[-x_p', x_n']$ остается справедливым выражение из пункта А1, так как относительно остальных слагаемых ток $j$ оказывается малой поправкой. Скорость рекомбинации (скорость процесса взаимоуничтожения дырок и электронов) обозначим за $R$ и формула для нее следует из соображений о том, что случаю $nv=1$ должно соответствовать равновесие: \[R = \frac{uv-1}{\tau_p (u+1) + \tau_n(v+1)} n_i,\] где $\tau_p$ и $\tau_n$ - характерные времена жизни соответствующих частиц.

C1 Пусть из-за наличия напряжения $U$ концентрации дырок и электронов поменялись по отношению к равновесию $U=0$ следующим образом $u \to u+ \delta u$, $v \to v + \delta v$. Выразите плотность тока $j$ через $\delta u$, $\delta v$, их производные и поле $\mathcal{E}$.

C2 Запишите уравнения стационарности для $\delta u$, $\delta v$ через их значения и значения их производных, учитывая что изменения этих величин во времени могут быть обусловлены токам и рекомбинацией.

C3 Преобразуйте условия стационарности для $\mathcal{E}=0$ и найдите вид функций $\delta v$ и $\delta u$ в области $x<-x_p$ с учетом $N_p, N_n \gg n_i$ и малости $\delta u$, $\delta v$.

У вас должно получиться, что $\delta v$ и $\delta u$ оказались одного порядка. Абсолютно аналогичные уравнения можно записать для области $x>x_n$.

C4 Считая, что в области $x \in [-x_p', x_n']$ выполняются условия пункта А1 т.е. $j \simeq 0$, найдите константы для $\delta u$ и $\delta v$ для результатов пункта С3.

C5 Получите ВАХ pn перехода в виде $j = f(U)$.