Сегнетоэлектрические материалы проявляют так называемую спонтанную поляризацию, когда их поляризация $P$ отлична от нуля даже при отсутствии внешнего электрического поля. Попробуем исследовать этот эффект количественно. Для этого нужно понять, как внутренняя энергия на единицу объёма $E$ зависит от $P$. Самый простой вариант – разложить эту зависимость в ряд Тейлора в окрестности $P=0$. Из соображений симметрии слагаемые с $P$ в нечётной степени обнуляются, и мы получим:\[W=\frac{1}{2}\alpha (T-T_0) P^2+\frac{1}{4}\beta P^4+\frac{1}{6}\gamma P^6.\tag{1}\]Здесь $\alpha,\beta,\gamma > 0$, $T$ – температура сегнетоэлектрика, а $T_0$ – температура, при пересечении которой возникает/пропадает свойство спонтанной поляризации.

В состоянии равновесия энергия должна иметь локальный минимум.

A1 Запишите условия локального минимума энергии, задаваемой $(1)$. При каких значениях $T$ возможна спонтанная поляризация?

A2 Найдите равновесные значения спонтанной поляризации $P_0$.

A3 При стремлении $T\to T_0$ выражение, полученное в предыдущем пункте, заметно упрощается. Найдите выражение для $P_0$ в этом пределе. Ответ выразите через $\alpha$, $\beta$ и $\Delta T=T_0-T$.

Используйте это выражение в дальнейшем.

Если к спонтанно поляризованному сегнетоэлектрику приложить внешнее электрическое поле $E$, его поляризация немного изменится. Можно показать, что при достаточно малом внешнем поле это изменение можно считать линейным, и ввести диэлектрическую восприимчивость:\[\chi\equiv \lim_{E\to 0}\frac{P_0(E)-P_0(0)}{E}\equiv \left.\frac{\partial P_0(E)}{\partial E}\right|_{E=0}.\]

B1 Найдите выражение для диэлектрической восприимчивости $\chi$ спонтанно поляризованного сегнетоэлектрика.