Рассмотрим уравнение Максвелла в диэлектрическом материале
\[
\DeclareMathOperator{\Rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\begin{split}
&\Div \vec{D} = 0 \quad \Rot \vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\
&\Div \vec{B} = 0 \quad \Rot \vec{B} = \mu_0 \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}
\end{split},
\]
, где $\vec{D}$ - электрическая индукция, связанная с $\vec{E}$ следующим соотношением: $\vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \vec{E}$, где $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость материла. Имейте в виду, что $c^2 \varepsilon_0 \mu_0=1$, где $c$ - скорость света.

Уравнения Максвелла допускают распространение плоской волны
\[
\begin{split}
\vec{E}(\vec{r}, t) = \mathfrak{Re} \vec{E}_0 e^{i\vec{k}\vec{r} - i \omega t} \\
\vec{B}(\vec{r}, t) = \mathfrak{Re} \vec{B}_0 e^{i\vec{k}\vec{r} - i \omega t}
\end{split},\]
где $\mathfrak{Re}$ - операция взятия действительной части комплексного числа, $\vec{k}$ - волновой вектор, $\omega$ - частота волны, а $\vec{E}_0$ и $\vec{B}_0$ - амплитуды колебаний электрического и магнитного поля соответственно. 
 

Примечание: Дивергенция $\Div \vec{A}$ векторного поля $\vec{A}$ является скалярной величиной, имеет смысл отношение потока поля $\vec{A}$ через маленький объем к этому объему и находится по формуле

\[ \Div \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.\]

Ротор $\Rot \vec{A}$ векторного поля $\vec{A}$ является векторной величиной, и каждая его компонента имеет смысл отношения циркуляции поля $\vec{A}$ через контур, перпендикулярный этому направлению, к площади контура и находится по формуле

\[ \Rot \vec{A} = \begin{vmatrix}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_y & A_z
\end{vmatrix}
=
\vec{x}
\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial y}  & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_y & A_z
\end{vmatrix}
-
\vec{y}
\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial x}  & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_z
\end{vmatrix}
+
\vec{z}
\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial x}  & \frac{\partial}{\partial y} \\
A_x & A_y
\end{vmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\
-\left[ \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right] \\
\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \\
\end{pmatrix}.\]

Лапласиан $\Delta \vec{A}$ векторного поля $\vec{A}$ является векторной величиной и находится по формуле

\[\Delta \vec{A} = \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial z^2} \]

Операции $\mathfrak{Re}$ и $\mathfrak{Im}$ - взятия действительной и мнимой части комплексного числа.

\[ \mathfrak{Re} \lbrace a+bi \rbrace= a, \quad \mathfrak{Im}  \lbrace a + bi \rbrace= b\]

Эти операции являются линейными и поэтому их можно переставлять с операциями взятия производной: $ \left( \mathfrak{Re} \lbrace f(x) \rbrace \right)' = \mathfrak{Re} \lbrace f'(x) \rbrace$.

A1 Подставьте плоскую волну в уравнения Максвелла и покажите, что вектора $\vec{E}_0$ и $\vec{B}_0$ должны быть перпендикулярны $\vec{k}$ и друг-другу. Выразите $|\vec{B}_0|$ через $|\vec{E}_0|$, $\omega$ и $|\vec{k}|$.

A2 Пользуясь соотношением $\DeclareMathOperator{\Rot}{rot} \DeclareMathOperator{\Div}{div} \DeclareMathOperator{\Grad}{grad} \Rot \Rot \vec{A} = \Grad \Div \vec{A} - \Delta \vec{A}$ и тем, что частные производные по разным параметрам можно переставлять: \[ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x} ,\] получите волновое уравнение для вектора $\vec{E}$: \[ \Delta \vec{E} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0.\] Чему равна фазовая скорость $v$ электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$?

Для описания электромагнитных волн часто разделяются временную и координатную зависимости электрического поля, вводя вектор $\tilde{E}(\vec{r})$, который называют комплексной амплитудой: \[ \vec{E}(\vec{r}, t) = \mathfrak{Re} \left\lbrace \tilde{E}(\vec{r}) e^{- i \omega t} \right\rbrace\] Несложно убедиться, что для комплексной амплитуды выполняется соотношение, которое называют уравнением Гельмгольца: \[ \Delta \tilde{E} + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde{E} = 0,\] решениями которого выступают функции вида $\vec{A} e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}$ - комплексные амплитуды плоской волны.

Рассмотрим плоскую волну, падающую под углом $\theta_1$ на плоскую границу раздела между двумя диэлектриками. Комплексная амплитуда тогда задается выражениями \[ \tilde{E}(\vec{r}) = \begin{cases} \vec{p}_0 E_0 e^{i k_{1y}y + i k_{1x}x} + r \vec{p}_r E_0 e^{i k_{1y}y - i k_{1x}x},& \text{ для } x < 0\\ t \vec{p}_t E_0 e^{i k_{2y}y + i k_{2x}x},& \text{ для } x > 0 \end{cases},\] где $\vec{p}_0$, $\vec{p}_r$, $\vec{p}_t$ - единичные векторы, задающие направление, в котором колеблется электрическое поле, $E_0$ - амплитуда колебаний электрического поля в падающей волне, $r$ и $t$ - амплитудные коэффициенты отражения и прохождения соответственно. При падении плоской волны на поверхность разделяют $s$- и $p$-поляризованные волы. У $s$-поляризованных волн вектор $\vec{E}$ параллелен поверхности и $\vec{p}_0 = \vec{p}_r = \vec{p}_t$, а у $p$-поляризованных волн вектор $\vec{E}$ лежит в плоскости падения и векторы $\vec{p}_0$, $\vec{p}_r$, $\vec{p}_t$ выбраны так, чтобы их векторное произведение с соответствующими волновыми векторами было направленно в одну сторону.

Из уравнений Максвелла следуют граничные условия на плоской границе раздела между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Индексы $1,2$ указывают на то, в какой среде происходит процесс. Из уравнений Максвелла с дивергенциями следует, что нормальные к границе раздела компоненты векторов $\vec{D}_1$ и $\vec{D}_2$ а также $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ совпадают \[ D_{1\perp}=D_{2\perp}, \quad B_{1\perp}=B_{2\perp}\] а из уравнений с роторами следует такие же соотношения для компонент векторов $\vec{E}_{1,2}$ и $\vec{B}_{1,2}$, направленных вдоль границы раздела: \[E_{1\parallel} = E_{2\parallel}, \quad B_{1\parallel} = B_{2\parallel}.\] Векторы $\vec{E}$, $\vec{D}$ и $\vec{B}$ напрямую связаны с комплексной амплитудой $\tilde{E}$, поэтому записанные уравнения можно переписать в терминах комплексной амплитуды. При этом при отражении и преломлении частота волны не может поменяться, так как в этом случае граничные условия точно не выполнятся. Обозначим угол между нормалью к поверхности и волновым вектором $\vec{k}_2$ в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$ за $\theta_2$.

A3 Покажите, что $k_{1y} = k_{2y}$. Убедитесь, что это равенство эквивалентно закону Снелла $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$.

A4 Пользуясь граничными условиями, покажите, что в случае $s$-поляризации \[ r_s = \frac{n_1 \cos \theta_1 - n_2 \cos \theta_2}{n_1 \cos \theta_1+ n_2 \cos \theta_2}\]

A5 Пользуясь граничными условиями, покажите, что в случае $p$-поляризации \[ r_p = \frac{n_2 \cos \theta_1 - n_1\cos \theta_2}{n_2 \cos \theta_1+ n_1 \cos \theta_2}\]

Интенсивность света $I$ - это средний поток энергии, переносимой излучением, через единицу площади. Ее можно найти как модуль среднего (за период колебаний ЭМ поля) значения вектора Пойнтинга \[ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}\]

A6 Покажите, что интенсивность $I$ света в плоской волне с комплексной амплитудой $\tilde{E}$ в веществе с показателем преломления $n$ равна \[ I = \frac{c \varepsilon_0 n}{2}|\tilde{E}|^2.\]

Коэффициентом отражения называют $R$ отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей волны.

A7 Чему равны коэффициенты отражения $R_p$ и $R_s$?

A8 Чему равен угол Брюстера $\theta_1 = \theta_\text{B}$ когда $R_p=0$ т.е. свет с $p$-поляризаций вообще не отражается от поверхности?

С помощью программы fresnel.py вы можете для разных $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ строить зависимость $R_p/R_s$ от угла падения $\theta$. Ниже представлен график зависимости $R_p/R_s$ измеренный на воздухе ($n=1$) для двух материалов $A$ и $B$ с неизвестными $n_A$ и $n_B$ соответственно. Имейте в виде, что показатель преломления метаматериалов может принимать практически любые значения. Снять данные с графиков вы можете с помощью встроенных графических редакторов.

A9 Чему равно $n_A$ и $n_B$ неизвестных материалов?