При движении стержня в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции $\left|\mathscr{E}^{инд}\right|=\Delta \Phi / \Delta t$, модуль которой зависит от времени. Знак $\mathscr{E}^{инд}$ может быть определён либо из выражения для силы Лоренца, либо из закона электромагнитной индукции Фарадея. В итоге приходим к эквивалентной схеме замкнутой электрической цепи (см. рисунок). Обратим внимание на то, что $\mathscr{E}^{инд}$ и $\mathscr{E}_{0}$ включены в цепь навстречу друг другу.
Найдем теперь зависимость $\mathscr{E}^{инд}$ от времени. По условию в начальный момент стержень касался границы области магнитного поля. К моменту времени $t$ он пролетит расстояние $|C D|=v t$ (см. рисунок).
Из геометрических соображений найдем длину хорды $|A B| $.
$$
|A B|=2|A D|=2 \sqrt{R^{2}-(R-v t)^{2}}=2 \sqrt{v t(2 R-v t)}.
$$
Изменение магнитного потока за малое время $\Delta t$ равно $\Delta \Phi=B \cdot|A B| \cdot v \Delta t $. Отсюда находим
$$
\left|\mathscr{E}^{инд}\right|=2 B v \sqrt{v t(2 R-v t)}.
$$
Максимальное значение $\mathscr{E}^{инд}$ достигается при $t=R / v$
$$
\left|\mathscr{E}^{инд}\right|_{\max }=2 B v R=1~В.
$$
Напряжение на светодиодах равно $U=\mathscr{E}_{0}-\mathscr{E}^{инд}$. Качественно зависимость $U(t)$ может быть представлена графически (см. рисунок).
Из приведенного графика следует, что светодиод $C_{2}$ будет светиться при $U \geqslant 0.25~В$, то есть на интервалах времени $\left[0, t_{1}\right]$ и $\left[t_{4}, t_{0}\right]$, где $t_{0}=2 R / v$. Светодиод $C_{1}$ будет светиться при $U<-0.25~В$, то есть на интервале времени $\left[t_{2}, t_{3}\right]$.
Для $t_{1}$ и $t_{4}$
$$
\mathscr{E}_{0}-2 B v \sqrt{v t_{1,4}\left(2 R-v t_{1,4}\right)}=0.25~В=\frac{1}{4}\left|\mathscr{E}^{инд}\right|_{\max }=\frac{1}{2} B v R.
$$
Принимая во внимание $\mathscr{E}_{0}=\frac{1}{2}\left|\mathscr{E}^{инд}\right|_{\max }=B v R$, приходим к квадратному уравнению
$$
t_{1,4}^{2}-\frac{2 R}{v} t_{1,4}+\frac{1}{16} \frac{R^{2}}{v^{2}}=0,
$$
откуда $t_{1,4}=\frac{R}{v}\left(1 \pm \sqrt{\frac{15}{16}}\right)=5 \cdot 10^{-3} \cdot(1 \pm 0.97)~с$. Таким образом, $t_{1}=150~мкс$, $t_{4}=9.85~мс$.
Аналогично для $t_{2}$ и $t_{3}$
$$
t_{2,3}^{2}+\frac{2 R}{v} t_{2,3}+\frac{9}{16} \frac{R^{2}}{v^{2}}=0,
$$
$$
t_{2,3}=\frac{R}{v}\left(1 \pm \sqrt{\frac{7}{16}}\right)=5 \cdot 10^{-3} \cdot(1 \pm 0.66)~с.
$$
Таким образом
$$
t_{2}=1.8~мс, \quad t_{3}=8.3~мс.
$$
