Logo
Logo

Гироскоп

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

A24
0.0
Сумма баллов
A1  0.60 Схематически опишите метод, которым вы проводили выравнивание стойки штатива. На рисунке укажите все использованные детали и подробно поясните свой выбор.

1 Груз на одном из концов оси 0.10
2 Груз на более длинном отрезке оси 0.10
3 Используется диск $26~ см$ 0.40
4 Используется диск $20~ см \times 4~ мм$ 0.30
5 Используется диск $20~ см \times 3~ мм$ 0.20
6 Используется диск $20~ см \times 2~ мм$ 0.10
A2  0.20 Укажите силы, действующие на установку.

1 Сила тяжести 0.10
2 Внешняя сила 0.10
A3  0.20 Какие два фактора наиболее важны для определения вертикального положения штатива?

(a) Равные плечи алюминиевой трубки

(b) Неравные плечи алюминиевой трубки

(c) Размер диска

(d) Толщина диска

(e) Вес диска

(f) Вес двигателя

(g) Напряжение, подаваемое на двигатель

1 (b) Неравные плечи алюминиевой трубки

(e) Вес диска

Примечание: 0 баллов при указании более чем 2 вариантов

 0.20
B1  1.50 Занесите в таблицу прямые измерения и пересчитайте их в период прецессии (с).

1 Расчерчена таблица 0.20
13 $N\ge6$ оборотов в одном измерении 0.30
14 $3\ge N < 6$ 0.20
15 $N < 3$ 0.10
16 $n\ge 5$ серий измерений 0.40
17 $n=4$ 0.30
18 $n=3$ 0.20
19 $n=2$ 0.10
20 Вычислен средний период 0.10
21 Указаны единицы измерений (В, с, рад/с) 0.30
22 Вычислена скорость прецессии 0.10
23 Диапазон напряжений покрыт равномерно 0.10
B2  0.80 По своим измерениям рассчитайте среднеквадратичное отклонение (standard deviation) и среднеквадратичное отклонение среднего значения (standard error) периода прецессии. Для одного из наборов данных явно напишите расчетные шаги.

1 Правильная формула для среднеквадратичного отклонения $\sqrt{\dfrac{\sum(T_i-\bar T)^2}{N-1}}$ 0.20
2 Правильная формула для среднеквадратичного отклонения среднего значения $\sqrt{\dfrac{\sum(T_i-\bar T)^2}{N(N-1)}}$ 0.10
3 Корректное вычисление 0.50
B3  0.90 Постройте график зависимости периода прецессии от напряжения на двигателе. Нанесите на график погрешности и проведите аппроксимирующую кривую.

1 График: оси; 2 × 0.10
2 масштаб; 2 × 0.10
3 проведена прямая в пределах $20\,\%$ от поставленных точек; 0.20
4 проведена прямая; 0.10
5 нанесены кресты погрешностей; 0.20
6 график занимает $\ge70\%$ площади листа. 0.10
B4  0.20 Аппроксимируйте полученную экспериментальную зависимость некоторой кривой и определите её параметры.

1 Рассчитаны коэффициенты линейной зависимости 0.10
2 Пояснён процесс нахождения коэффициентов (графически, МНК, и т.д.) 0.10
B5  1.00 По данным таблицы выше, получите зависимость скорасти прецессии от скорости вращения двигателя.

1 График: оси; 2 × 0.10
2 масштаб; 2 × 0.10
3 нанесены точки. 0.20
4 Найдена коэффициенты линейной зависимости $z~[об/мин]=2075 x~[В]-143.66$ 0.10
5 Напряжение выражено через скорость $x=\dfrac{z+143.66}{2075}$ 0.10
6 Скорость прецессии выражена через скорость $w~[рад/с]=\dfrac{2\pi}{2.045\cdot10^{-4}\cdot z+1.76476}$ 0.20
B6 (i)  0.50 Найдите момент инерции однородного диска той же массы и того же радиуса относительно оси $\mathrm{AA'}$.

1 Формула $I=\sum_i m_ir_i^2$ 0.10
2 Переход к интегралу $I=\int_0^Rr^2\,\mathrm dm$ 0.10
3 Выражение $\mathrm dm=2rM\,\mathrm dr/\pi R^2$ 0.10
4 Подстановка в интеграл 0.10
5 Ответ $I=MR^2/2$ 0.10
B6 (ii)  0.20 Рассчитайте численно момент инерции однородного диска диаметром $20~см$ и толщиной $3~мм$.

1 $I=0.000325~кг\cdot м^2$: число; 0.10
2 размерность 0.10
B6 (iii)  1.00 Зарисуйте установку, указав все внешние силы, действующие на неё. Выведите указанную выше формулу для скорости прецессии однородного диска. Укажите на рисунке все величины, которые вы используете при выводе формулы.

1 Правильная схема, указаны $mg$, $r$ и $L$ 0.30
2 Внешний момент $\tau=mgr\sin\varphi$ 0.10
3 Горизонтальная компонента момента импульса $L_h=L\sin\varphi$ 0.10
4 Скорость прецессии $\omega_p=\dot\theta$ 0.10
5 Подстановка $\Delta\theta=\Delta L/L\sin\varphi$ 0.10
6 Внешний момент $\tau=\dot L=mgr\sin\varphi$ 0.10
7 Ответ $\omega_p=mgr/I\omega_s$ 0.20
B6 (iv)  0.40 Рассчитайте численно теоретическую скорость прецессии при напряжении на двигателе $6~В$. Воспользуйтесь данными из таблицы выше.

1 Подстановка чисел 0.10
2 Учёт массы мотора $(0.089+0.094)$ 0.10
3 $\omega_p=1.256 ~рад/с$: число; 0.10
4 размерность. 0.10
C1  1.20 Занесите в таблицу прямые измерения и пересчитайте их в скорость прецессии (рад/с).

1 Расчерчена таблица 0.10
2 Более 10 оборотов за измерение 0.30
3 $5 \le N \le 10$ 0.20
4 менее 5 0.10
5 $n> 5$ серий измерений 0.20
6 $3\le n \le5$ 0.10
7 Вычислен средний период 0.10
8 Указаны единицы измерений (В, с, рад/с) 0.30
9 Вычислена скорость прецессии 0.20
С2  0.80 Постройте график зависимости скорости прецессии от длины плеча гироскопа.

1 График: оси; 2 × 0.10
2 масштаб; 2 × 0.10
3 нанесены точки; 0.20
4 проведена прямая; 0.10
5 график занимает $\ge70\%$ площади миллиметровки. 0.10
C3  0.10 Как меняется скорость прецессии при изменении длины плеча?

(a) При увеличении плеча скорость прецессии увеличивается.

(b) При увеличении плеча скорость прецессии уменьшается.

(c) При увеличении плеча скорость прецессии не изменяется.

1 (a) При увеличении плеча скорость прецессии увеличивается 0.10
D1  1.70 Занесите в таблицу прямые измерения и пересчитайте их в скорость прецессии (рад/с).

1 Расчерчена таблица 0.10
2 $N>10$ оборотов в одном измерении
 0.30
3 $5\le N \le 10$ 0.20
4 $N < 5$ 0.10
5 $n> 10$ серий измерений 0.30
6 $7 < n\le10$ 0.20
7 $3\le n\le7$ 0.10
8 Вычислен средний период 0.10
9 Указаны единицы измерений (В, с, рад/с) 0.30
10 Вычислена скорость прецессии 0.30
11 Использованы все три диска диаметром 20 см 0.30
D2  1.10 Постройте график зависимости скорости прецессии от напряжения на двигатель для всех используемых значений толщины диска, в том числе учтите измерения части B.

1 График: оси; 2 × 0.10
2 масштаб; 2 × 0.10
3 нанесены точки; 0.30
4 проведены сглаживающие кривые; 0.30
5 график занимает $\ge70\%$ площади миллиметровки. 0.10
D3  0.10 Как меняется скорость прецессии при изменении массы вращающегося диска?

(a) При увеличении массы диска скорость прецессии не меняется.

(b) При увеличении массы диска скорость прецессии увеличивается.

(c) При увеличении массы диска скорость прецессии уменьшается.

1 (b) При увеличении массы диска скорость прецессии увеличивается 0.10
D4  0.80 Вычислите массы дисков, используя измерения этой части. Не учитывайте вклад в момент инерции от других частей установки, кроме диска.

1 Угловая скорость прецессии $\omega_p=(m+M)gr/I\omega_s$ 0.10
2 Момент инерции диска $I=mR^2/2$ 0.10
3 Подстановка в $\omega_p$ 0.10
4 Формула для массы $m=\dfrac{2Mgr}{R^2\omega_p\omega_s-2gr}=\dfrac{2\cdot0.094\cdot9.81\cdot0.25}{(0,2)^2\omega_{p,i}\omega_{s,i}-2\cdot9.81\cdot0.25}$ 0.10
5 Рассчитаны все значения $m_i$ 0.20
6 Найдено среднее $m$ 0.10
7 Найдено среднеквадратичное отклонение ответа 0.10
E1  1.30 Занесите в таблицу прямые измерения и пересчитайте их в скорость прецессии (рад/с). Рассчитайте погрешности.

1 Расчерчена таблица 0.10
2 $n \ge 3$ серии измерений 0.20
3 $n = 1$ 0.10
4 Рассчитан средний период 0.10
5 Рассчитано среднеквадратичное отклонение 0.10
6 Рассчитано среднеквадратичное отклонение среднего значения 0.10
7 Расчитан угол наклона относительно горизонта 0.10
8 Указаны единицы измерений (В, с, рад/с) 0.30
9 Вычислена скорость прецессии 0.20
10 В диск вкручено чётное количество винтов. 0.10
E2  0.80 Постройте график зависимости скорости прецессии от числа винтов с гайками на большом диске.

1 График: оси; 2 × 0.10
2 масштаб; 2 × 0.10
3 нанесены точки; 0.10
4 проведена прямая; 0.10
5 нанесены кресты погрешностей; 0.10
6 график занимает $\ge70\,\%$ площади миллиметровки 0.10
E3  0.80 Постройте график зависимости установившегося угла наклона оси от количества винтов с гайками на большом диске.

1 График: оси; 2 × 0.10
2 масштаб; 2 × 0.10
3 нанесены точки; 0.10
4 проведена прямая; 0.10
5 нанесены кресты погрешностей; 0.10
6 график занимает $\ge70\,\%$ площади миллиметровки. 0.10
E4  0.50 На основе полученных экспериментальных данных рассчитайте массу одного винта вместе с гайкой.

1 Посчитаны $m$ для разного числа болтов 0.20
2 Посчитано среднее 0.10
3 Посчитано среднеквадратичное отклонение 0.10
4 Измерено $r$ 0.10
E5  0.10 Теперь закрепите винты на вращающемся диске. В этом случае можно заметить, что изменяется величина и направление угловой скорости прецессии. Какой из параметров на это повлиял: $m$, $g$, $r$, $I$ или $\omega_\mathrm{s}$? Если ваш ответ содержит более одного параметра, приведите их в порядке убывания влияния.

1 На это повлиял параметр $I$ 0.10
F1  0.40 Качественно зарисуйте траекторию центра вращающегося диска для обоих случаев (центр вращающегося диска выше/ниже горизонта).

1 Траектория центра диска, когда его центр выше горизонта 0.20
2 Траектория центра диска, когда его центр ниже горизонта 0.20
F2 (i)  1.00 Рассмотрим отдельную задачу в следующей модели: на систему не действуют внешние моменты сил, система симметрична относительно оси 3. Решая систему уравнений $(1)$–$(3)$, получите некое уравнение колебаний и определите их частоту.

1 При вращении вокруг оси 3 имеет место $\omega_3\gg\omega_{2,1}$ 0.10
2 В отсутствие внешних моментов $\tau_{1,2,3}=0$ 0.10
3 Скорость вращения постоянна $\dot\omega_3=0$ 0.10
4 Уравнение Эйлера $I_1\dot\omega_1-(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=0$ 0.10
5 Уравнение Эйлера $I_2\dot\omega_2-(I_1-I_3)\omega_3\omega_1=0$ 0.10
6 Из симметрии диска $I_1=I_2$ 0.10
7 Из уравнений Эйлера $I_1\ddot\omega_1=(I_3-I_1)\dot\omega_2\omega_3$ 0.10
8 Из уравнений Эйлера $\dot\omega_2=-\frac{I_3-I_1}{I_1}\omega_3\omega_1$ 0.10
9 Замкнутое уравнение на $\omega_1$: $\ddot\omega_1+\left[\frac{I_3-I_1}{I_1}\omega_3\right]^2\omega_1=0$ 0.10
10 Ответ $\omega_n=\frac{I_3-I_1}{I_1}\omega_3$ 0.10
F2 (ii)  0.10 При выводе уравнения в предыдущем пункте покажите шаг, который демонстрирует гармоничность колебаний.

1 Указано уравнение $\ddot\omega_1+\omega_n^2\omega_1=0$ 0.10
G1  1.70 Используя имеющееся оборудование, соберите прототип самобалансирующегося гироскопа, и убедитесь в его способности к самобалансировке. Вы можете откручивать болты в креплении диска, отсоединять муфту от вала двигателя и менять сам диск. Собранный вами прототип должен быть безопасным.

Приведите схему вашей установки. Перечислите все использованные вами элементы оборудования и явно укажите, какие из них подвижны, а какие — нет.

1 Правильная схема установки 0.20
2 Перечислены элементы оборудования 0.30
3 Указаны подвижные и неподвижные части 0.30
4 Правильная схема с 26 см диском 0.30
5 Правильная схема, но без 26 см диска 0.20
6 Перечислены элементы оборудования 0.30
7 Указаны подвижные и неподвижные части 0.30