A1  ^?? Пусть скорость движения электронов в плазме в некоторой точке равна $\vec{v}$. Чему равна объемная плотность тока $\vec{j}_t$ связанная с движением этих электронов?

A2  ^?? Выразите $\vec{j}_t$ через ток проводимости $\vec{j}$ и производную поляризованности $\partial \vec{P}/\partial t$.

A3  ^?? Покажите, что для гармонического с частотой $\omega$ поля $\vec{E} \propto e^{-i\omega t}$ правильное переопределение диэлектрической проницаемости имеет следующий вид:
\[\tilde{\varepsilon} = \varepsilon + \frac{i \sigma}{\omega \varepsilon_0}\]

A4  ^?? Пользуясь тем, что для сферически-симметричной функции Лапласиан можно найти по формуле
\[\Delta \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d \Phi}{dr} \right), \]найдите $\lambda_D$. Выразите ответ через $\langle n \rangle$ и $T$. Рассчитайте значение $\lambda_D$ в газовом разряде, если в нем $\langle n \rangle = 10^{16}~\text{м}^{-3}$, $T=10^4~\text{K}$.

Вычислим Лапласиан для
\[\Phi(r) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} e^{-r/\lambda_D} \]\[
\begin{split}
\Delta \Phi &= \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \frac{d}{dr}
\left( r^2 \left[ -\frac{e^{-r/\lambda_D}}{r\lambda_D} - \frac{e^{-r/\lambda_D}}{r^2} \right] \right)
= -\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \frac{d}{dr} \left( \left[ \frac{r}{\lambda_D} + 1 \right] e^{-r/\lambda_D}\right) =\\&=
-\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \left( \frac{1}{\lambda_D} e^{-r/\lambda_D} - \left[ 1 + \frac{r}{\lambda_D} \right] \frac{1}{\lambda_D} e^{-r/\lambda_D} \right) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r \lambda_D^2} e^{-r/\lambda_D} = \frac{\Phi(r)}{\lambda_D^2}
\end{split}
\]

Подстановка в уравнение, предложенное в условии, дает
\[ \frac{\Phi(r)}{\lambda_D^2} \simeq \frac{e \langle n \rangle}{\varepsilon_0} \left[ 1 + \frac{e \Phi}{k_\text{B} T} - 1 + \frac{e\Phi}{k_\text{B} T}\right] = \frac{2e^2 \langle n \rangle \Phi(r)}{\varepsilon_0 k_\text{B} T}.\]В итоге
\[\lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_\text{B} T}{2e^2\langle n \rangle}}\]

A5  ^?? Оцените среднее количество частиц $N_\text{loc}$ поле которых не экранируется в конкретной точке плазмы.

Число $N_\text{loc}$ можно оценить, как количество частиц в сфере радиуса дебаевской длины:
\[ N_\text{loc} = 2 \langle n \rangle \cdot \frac{4}{3} \pi \lambda_D^3 = \frac{8\pi}{3 \langle n \rangle^{1/2}} \left( \frac{\varepsilon_0 k_\text{B}T}{2e^2} \right)^{3/2} \]

A6  ^?? Рассмотрите движение электронов плазмы во внешнем электрическом поле $\tilde{E}e^{-i\omega t}$ и найдите диэлектрическую проницаемость $\tilde{\varepsilon}$ плазмы.

Запишем второй закон Ньютона $m\vec{a} = -e\tilde{E}e^{-i \omega t}$. Интегрирование по времени дает нам
\[\vec{v} = \vec{v}_0 + \frac{e\tilde{E}}{i m \omega} e^{-i\omega t}, \quad \Rightarrow \quad \vec{j}_t = \frac{ie^2n}{m\omega} \vec{E}_0,\]используем, что $\vec{v}_0=0$, то есть в отсутствие $\tilde{E}$ электроны не движутся. В результате получаем:
\[\tilde{\varepsilon}=1-\frac{e^2n}{m\varepsilon_0 \omega^2}\]

A7  ^?? Найдите частоту собственных колебаний плазмы $\omega_p$.

Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ связывает $P$ и $E$:
\[P = \varepsilon_0 (\varepsilon-1) E\]и если $\varepsilon=0$, это означает, что электрическое поле $E$ полностью генерируется локальными диполями. Мы также можем заметить, что диэлектрическая проницаемость $\tilde{\varepsilon}$ не имеет мнимой части, поэтому $\tilde{\varepsilon}=\varepsilon$. В итоге, частота, соответствующая нулевой диэлектрической проницаемости, равна:
\[\omega= \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e^2 n}}.\]