Поскольку система теплоизолированная, то можно воспользоваться законом сохранения энергии:
$$
E_{1}+A=E_{2},
$$
где $E_{1}$ и $E_{2}$ - энергии системы соответственно до и после замыкания ключа, а $A$ - работа внешних сил. В нашем случае это работа электродвижущих сил. Поскольку система вначале находилась в равновесии, то масса поршня $m=p S / g$.
Пусть через источник ЭДС протёк заряд $q$. Тогда дно сосуда и поршень окажутся заряженными, образуя пластины конденсатора. Ёмкость этого конденсатора в конечном состоянии будет $C=\varepsilon_{0} S / H$, где $S$ - площадь дна сосуда. Поскольку напряжение на конденсаторе равно $\mathscr{E}$, то протёкший через источник ЭДС заряд
$$
q=C \mathscr{E}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{H} .
$$
Поскольку на пластинах находятся разноимённые заряды, то они притягиваются с силой
$$
F=\frac{q^{2} / S}{2 \varepsilon_{0}}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 H^{2}}.
$$
В конечном состоянии давление газа будет равно $p+F / S$.
Внутренняя энергия одноатомного идеального газа, выраженная через давление и объём, $U=3 P V / 2$. Запишем закон сохранения энергии:
$$
\begin{gathered}
\frac{3}{2} p_{1} V_{1}+m g h+\mathscr{E} q=\frac{3}{2} p_{2} V_{2}+m g H+\frac{q^{2}}{2 C}
\\
\frac{3}{2} p S h+p S h+\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{H}=\frac{3}{2}\left(p+\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{2 H^{2}}\right) S H+p S H+\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 H} ;
\\
\frac{5}{2} p S(H-h)=-\frac{1}{4} \frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{H}
\\
\left(\frac{H}{h}\right)^{2}-\left(\frac{H}{h}\right)=-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p}
\end{gathered}
$$
Решая квадратное уравнение, найдём
$$
H=h\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p}}\right),
$$
так как нас интересует больший корень. С учётом того, что
$$
\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{h^{2} p} \ll 1,
$$
получим
$$
H \approx h\left(1-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p}\right) .
$$