B1  ^?? Снимите экспериментальную зависимость натяжения пружины $T$ от величины её деформации $\Delta l$. Подробно опишите методику измерений и зарисуйте схему вашей экспериментальной установки.

Сначала убеждаемся в том, что жёсткость исследуемой пружины существенно превосходит жёсткость пружины динамометра. Даже при максимальной силе $F_{\max }=5~Н$, на которую рассчитан динамометр, деформация исследуемой пружины не превышает долей миллиметра. Это означает, что имеющееся оборудование (динамометр и линейка) не позволяет непосредственно определить коэффициент жёсткости пружины по зависимости $F(\Delta l)$.

Для проведения измерений соберём установку, которая позволяет значительно увеличить создаваемое динамометром $F$ усилие, а также измерять небольшие деформации пружины $\Delta l$. Фотография экспериментальной установки показана на рис. 1.

Нихромовая проволока, закреплённая на струбцинах, натянута несильно, но достаточно для того, чтобы создать небольшую деформацию пружины. Расстояние между струбцинами определяется длиной стола и равно $l=2 l_{0}=116.5~см$. С помощью привязанного нитью к середине проволоки динамометра прикладываем силу $F$ в перпендикулярном к проволоке направлении. Будем снимать зависимость $F(x)$, где $x$ – отмечаемое по закрепленной на столе линейке положение динамометра. Отклонение $\Delta x$ динамометра от положения, в котором он не оттягивает проволоку, является прогибом середины проволоки под действием силы $F$ (см. рис. 2).

Выведем теоретическую зависимость $F(x)$. При малых $\Delta x\ll l_0$ удлинение пружины равно: $$\Delta l=2\left(\sqrt{l_{0}^{2}+(\Delta x)^{2}}-l_{0}\right) \simeq 2 \frac{(\Delta x)^{2}}{2 l_{0}}=\frac{(\Delta x)^{2}}{l_{0}} \tag{1}$$При выводе формулы растяжением нихромовой проволоки по сравнению с деформацией пружины можно пренебречь. Схема установки представлена на рис. 3.

Из условия равновесия следует, что: $$F=2 T\sin \alpha$$$$T=\frac{F}{2 \sin\alpha} \tag{2}$$Воспользуемся тем, что $\alpha\ll 1$, откуда следует, что: $$\sin \alpha \simeq \operatorname{tg} \alpha \simeq \frac{\Delta x}{l_{0}}$$Подставляя полученное выражение в $(2)$, получаем: $$T=\frac{F l_{0}}{2 \Delta x} \tag{3}$$

Таким образом, измерив зависимость $F(x)$, мы можем рассчитать зависимость $T(\Delta l)$. Результаты измерений $F(x)$ и пересчет в $T(\Delta l)$ представлены ниже.

Чтобы оценить, как влияет сила трения динамометра о линейку на результаты эксперимента, проведены измерения для возрастающих натяжений и для убывающих. В этих случаях сила трения направлена в противоположные стороны, и, хоть ее влияние и несущественно, за положение динамометра при заданных его показаниях будем принимать среднее между двумя его положениями.

B2  ^?? Постройте график $T(\Delta l)$. На основании этого графика сделайте вывод о выполнимости закона Гука для вашей пружины. По результатам эксперимента определите коэффициент жёсткости $k$ стальной пружины.

Построим график зависимости $T(\Delta l)$.

Заметим, что экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую линию. Это означает, что пружина подчиняется закону Гука. Коэффициент жёсткости, рассчитанный из наклона:

B3  ^?? Сделайте оценку $k_Т$ стальной пружины, используя формулу $(1)$. Сравните оценку $k_Т$ с экспериментальным значением $k$.

Оценку жёсткости пружины сделаем так. У нас имеется пружина динамометра, параметры которой легко определяются: коэффициент жесткости $k_{0}=0.55~Н/см$, число витков $N_{0}=32$, длина $L_{0}=27~мм$, средний диаметр витков $D_{0}=13~ мм$. Запишем формулу, связывающую жесткость пружину со свойствами материала, из которого она сделана и её геометрическими параметрами:
$$k=\frac{G}{N} \frac{d^{4}}{8 D^{3}} \tag{4}$$В условии указано, что пружина в динамометре является стальной, а значит модуль сдвига $G$ у материала исследуемой пружины и пружины в динамометре один и тот же. Таким образом можно рассчитать отношение коэффициентов жесткости двух пружин, зная их геометрические параметры. Параметры исследуемой пружины: число витков $N=30$, длина $L=30~мм$, средний диаметр витков $D=6~мм$. Подставляя эти значения, получаем численное значение отношения коэффициентов жесткости двух пружин:
$$\frac{k_Т}{k_{0}}=\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{4}\left(\frac{D_{0}}{D}\right)^{3}\left(\frac{N_{0}}{N}\right)^{5}=21.4 \tag{5}$$Откуда коэффициент жесткости исследуемой пружины:$$k_Т=11.8~Н/см \tag{6}$$Погрешность нашей оценки довольно велика и составляет, по-видимому, не менее $20 \%$ (это связано с большими степенями, с которыми в оценочную формулу входят измеряемые величины). Поэтому можно считать, что экспериментальное $k=14.3~Н/см$ см и теоретическое $k_Т=11.8~Н/см$ значения в пределах погрешности согласуются.

B4  ^?? Оцените модуль сдвига $G$ для стали.

Оценку модуля сдвига $G$ для стали сделаем, используя данные для пружины динамометра:
$$G=\frac{8 k_{0} D_{0}^{3} N_{0}^{5}}{L_{0}^{4}}=6.1 \cdot 10^{10} ~Па \tag{7}$$Погрешность за счет больших степеней так же составляет порядка $20 \%$. Окончательно:
$$G=(6.1 \pm 1.2) \cdot 10^{10}~Па \tag{8}$$

Табличное значение для стали:
$$G_{табл}=(7.9 \ldots 8.9) \cdot 10^{10}~Па \tag{9}$$