Введем обозначения: $x$ - смещение груза из первоначального положения, $y=u t$ - смещение правого конца пружины $II$ (см. рисунок).
На груз действуют упругие силы:
$$
F_{1}=k x, \quad F_{2}=(y-x) k=(u t-x) k.
$$
Результирующая сила:
$$
F=F_{2}-F_{1}=k u t-k x-k x=k(u t-2 x) .
$$
Второй закон Ньютона (уравнение движения груза) запишется в виде
$$
m a_{x}=k(u t-2 x) .
$$
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью $u / 2$ относительно «неподвижной» системы. Обе системы инерциальные, поэтому ускорения груза в обеих системах одинаковы: $a_{x}=a_{z}$. В момент времени $t$ начало координат новой системы находится в точке $x^{\prime}=t \cdot u / 2$. Координата груза в этот момент времени равна: $z=-\left(x^{\prime}-x\right)=-x^{\prime}+x$. Второй закон Ньютона в «движущейся» системе отсчета запишется в виде
$$
m a_{z}=k(u t-2 z-u t)=-2 k z .
$$
Это уравнение свободных колебаний груза с угловой частотой
$$
\omega_{0}=\sqrt{\frac{2 k}{m}}.
$$
В момент времени $t=0$ груз находится в начале координат «движущейся» системы $z_{0}=0$ и имеет скорость $v_{0}=-u / 2$. Через полпериода колебаний
$$
\Delta t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega_{0}}=\pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}
$$
скорость груза в этой системе будет равна $+u / 2$, и он снова будет находиться в точке $z=0$. Следовательно, в «неподвижной» системе скорость груза в этот момент равна $u$, а его координата
$$
x=\frac{u}{2} \Delta t=\frac{\pi}{2} u \sqrt{\frac{m}{2 k}}.
$$