При вращении цилиндра возникает круговой ток, создающий магнитное поле внутри цилиндра. Полная сила тока, текущего по поверхности цилиндра, равна $I=\sigma v L$, где $v$ - линейная скорость зарядов. Ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, $i=I / L=\sigma v$. Магнитное поле $B$ внутри цилиндра совпадает с магнитным полем длинной катушки:
$$
\mathrm{B}=\frac{\mu_{0} I}{L}=\mu_{0} \sigma v.
$$
Плотность магнитной энергии $w_{М}=B^{2} /\left(2 \mu_{0}\right)=\mu_{0} \sigma^{2} v^{2} / 2$. Полная энергия магнитного поля $W_{М}=w_{М} \cdot \pi R^{2} L=k v^{2} / 2$, где
$$
k=\pi \mu_{0} \sigma^{2} R^{2} L.
$$
Кинетическая энергия вращающегося цилиндра и груза
$$
W_{К}=(m+M) v^{2} / 2.
$$
Если координатную ось $x$ направить вниз, то потенциальная энергия груза запишется в виде
$$
W_{П}=-m g x+\text { const}.
$$
Запишем теперь закон сохранения энергии, включая механическую энергию вращающегося цилиндра и груза и энергию магнитного поля внутри цилиндра:
$$
W_{К}+W_{П}+W_{М}=\mathrm{const} \quad или \quad(m+M+k) \frac{v^{2}}{2}-m g x=\mathrm{const}.
$$
Принимая во внимание, что $v=\frac{d x}{d t}$ и $a=\frac{d v}{d t}$, продифференцировав это уравнение по времени, получим:
$$
a=\frac{m g}{m+M+k}=\frac{m g}{m+M+\pi \mu_{0} \sigma^{2} R^{2} L}.
$$