Обычно при исследовании динамики тела в поля тяжести считается, что силы трения отсутствуют и можно пользоваться законом сохранения энергии. Из этого предположения можно получить законы Кеплера, которые с хорошей точностью описывают как поведение планет, так и движение искусственных спутников. Однако на начальном и конечном этапе движения космического корабля он взаимодействует с атмосферой планеты (если она есть), поэтому силы сопротивление воздуха существенно влияют на его траекторию. В этой задаче мы исследуем несколько простых моделей, позволяющих оценить результаты такого влияния. Далее для определенности считаем, что космический корабль движется вблизи Земли.
На космический корабль, движущийся в атмосфере, действует гравитационная сила, направленная к центру Земли, сила сопротивления воздуха $D$, направленная против скорости, и подъемная сила $L$, перпендикулярная скорости. Эти силы задаются выражениями
$$
D = \frac{1}{2} \rho v^2 S C_D, \qquad L = \frac{1}{2} \rho v^2 S C_L,
$$где $\rho$ – плотность окружающего воздуха, $S$ – характерная площадь поперечного сечения космического корабля, $v$ – его скорость относительно воздуха, $C_D$ $C_L$ – безразмерные коэффициенты. Вообще говоря эти коэффициенты сами могут зависеть от скорости космического корабля, но в рамках этой задачи мы будем считать их постоянными. В рамках задачи считайте, что движение корабля происходит в одной фиксированной плоскости, проходящей через центр Земли. Все силы лежат в этой плоскости.
Будем использовать модель атмосферы, в которой зависимость плотности от высоты задается формулой
$$
\rho = \rho_0 e^{-\beta~h},
$$где $h$ – высота от поверхности Земли, $\rho_0$ – плотность воздуха у поверхности Земли, $\beta$ – некоторая постоянная. Воздух атмосферы можно считать неподвижным, влияние ветра учитывать не нужно.
Во всей задаче можно использовать следующие численные данные
В заданный момент времени движение космического корабля характеризуется величиной его скорости $v$, углом $\gamma$, который скорость образует с горизонтальным направлением в точке, где находится космический корабль (он считается положительным, если скорость направлена к поверхности Земли), а также высотой $h$ над поверхностью Земли. Пусть точка $P$ – проекция положения корабля на поверхность Земли в какой-то последующий момент времени. Тогда определим горизонтальное перемещение космического корабля $s$ как расстояние между его начальной и конечной проекцией, измеренные вдоль поверхности Земли (по дуге окружности). Также можно использовать расстояние $r$ от корабля до центра Земли.
Полученные уравнения в общем случае нельзя решить аналитически. Для того, чтобы получить качественное представление о параметрах полета, в этой части рассмотрим следующую упрощенную модель. Будем считать, что подъемной силы нет ($L = 0$), а угол $\gamma$ остается постоянным. Тогда нам нужно исследовать только зависимость модуля скорости от высоты. При этом можно считать, что сила сопротивления воздуха много больше составляющей силы тяжести вдоль скорости, поэтому силу тяжести также можно не учитывать.
Космический корабль Восток использовался для первого пилотируемого полета в космос. Параметры возвращаемой части этого корабля и его орбиты
В предыдущей части мы получили достаточно большие значение максимального ускорения, которые могут привести к разрушению космического корабля. Это ускорение можно существенно уменьшить, используя корабль с существенной подъемной силой. Для того, чтобы описать поведение такого корабля, можно использовать следующие приближения:
Найдите значения скорости (в км/c) и ускорения за счет сопротивления воздуха (в единицах $g_0$) на высотах $h_1 = 80~\text{км}$, $h_1 = 60~\text{км}$, $h_1 = 40~\text{км}$.
Рассмотрим процесс снижения орбиты корабля при движении в верхних слоях атмосферы.
На корабль действует сила сопротивления со стороны разреженного газа $\vec F=-\alpha \vec v$. При рассматриваемом движении в верхних слоях атмосферы параметр $\alpha$ можно считать примерно постоянным. Сила очень мала, поэтому можно считать, что в процессе одного оборота энергия и момент импульса корабля меняются очень незначительно.
Пусть в момент времени $t$ корабль массы $m$ движется по эллипсу c большой полуосью $a$ и эксцентриситетом $e$. Масса Земли $M$.
Примечание: Может быть удобным записать ЗСЭ в точке апоцентра или перицентра.
Приступим к рассмотрению влияния трения на орбиту корабля.
Для нахождения зависимости энергии корабля $E$ от времени $t$, нужно усреднить мощность силы трения $P$ по периоду обращения корабля. Так как энергия и момент импульса очень слабо меняются за время одного оборота, проведем усреднение квадрата скорости для движения по орбите без учета силы трения. Для этого воспользуемся вектором Лапласа–Рунге–Ленца.
Примечание: Может быть удобным использовать выражение $\vec L=mr^2 \vec\omega$.
Проинтегрировав это выражение по времени, можно получить: $$[\vec v, \vec L]=\beta \vec e_i+\vec A \tag1$$ Где $\vec A$ – вектор Лапласа–Рунге–Ленца, который остается постоянным для орбит в гравитационном поле. Модуль $\vec A$ связан с эксцентриситетом орбиты как $|\vec A|=\beta e$.
Примечание: Может быть удобным выразить квадрат средней скорости из усредненного ЗСЭ ($\langle T+U\rangle=\langle E\rangle$, где $T$ - кинетическая энергия, $U$ - потенциальная).
Рассмотрим движение МКС в верхних слоях атмосферы, которое начиналось на круговой орбите высоты $h_0$.